Determine as transformações inversas, , das transformações da questão 1 que foram inversíveis.
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\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\
& T(x, y)=(2 x+y, y+y)
\end{aligned}
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformação inversa, chamada , para a transformação que foi dada. A transformação está mapeando vetores do plano para outro plano e é definida por:
Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e matrizes invertíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Para transformar um vetor , multiplicamos pela matriz correspondente:
Aqui, cada coluna da matriz A representa como as coordenadas x e y afetam a saída da transformação.
Passo 3
Para encontrar a transformação inversa T^-1 , precisamos encontrar a matriz inversa A^-1 da matriz A . Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = (2)(2) - (1)(0) = 4 neq 0
Como o determinante é 4, que é diferente de zero, a matriz A é invertível.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Para uma matriz 2 times 2 como A , a inversa é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Onde a = 2 , b = 1 , c = 0 , e d = 2 . Substituindo esses valores: