Determine as transformações inversas, , das transformações da questão 1 que foram inversíveis.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\
& T(x, y)=(2 x+y, y+y)
\end{aligned}
$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformação inversa, chamada T^-1 , para a transformação T que foi dada. A transformação T está mapeando vetores do plano R^2 para outro plano R^2 e é definida por:
T(x, y) = (2x + y, 2y)
Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e matrizes invertíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T como uma matriz. Para transformar um vetor (x, y) , multiplicamos pela matriz correspondente:
A = 2 & 1 0 & 2
Aqui, cada coluna da matriz A representa como as coordenadas x e y afetam a saída da transformação.

Passo 3

Para encontrar a transformação inversa T^-1 , precisamos encontrar a matriz inversa A^-1 da matriz A . Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = (2)(2) - (1)(0) = 4 neq 0
Como o determinante é 4, que é diferente de zero, a matriz A é invertível.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Para uma matriz 2 times 2 como A , a inversa é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Onde a = 2 , b = 1 , c = 0 , e d = 2 . Substituindo esses valores:
A^-1 = 14 2 & -1 0 & 2 = 24 & -14 0 & 24 = 12 & -14 0 & 12

Passo 5

Com a matriz inversa A^-1 encontrada, podemos escrever a transformação inversa T^-1 . Se T(x, y) = (u, v) , então:
x y = A^-1 u v = 12u - 14v 12v
Isso nos dá as expressões para x e y em termos de u e v .

Resposta

A transformação inversa é dada por:
T^-1(u, v) = ( 12u - 14v, 12v )

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