Os conjuntos abaixo não são espaços vetoriais. Identifique uma condição que falha em cada caso.
b)
, munido das seguintes operações de soma e multiplicação por escalar, respectivamente:
e
.
b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
com operações de soma e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
Queremos identificar qual condição dos espaços vetoriais não está sendo satisfeita nesse caso. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Um espaço vetorial deve satisfazer várias axiomas, como associatividade e comutatividade da adição, existência de um elemento neutro, distributividade da multiplicação por escalar, entre outros. Vamos focar em uma propriedade fundamental: a existência de um elemento neutro para a multiplicação por escalar.
Passo 3
Uma das propriedades dos espaços vetoriais é que multiplicar qualquer vetor pelo escalar 1 deve retornar o próprio vetor, ou seja:
Vamos verificar se isso acontece com as definições dadas.
Passo 4
Segundo a definição fornecida:
Mas, segundo a propriedade dos espaços vetoriais, deveríamos ter:
Isso mostra que a operação de multiplicação por escalar não está cumprindo essa condição.
Resposta
A condição que falha é que a multiplicação por escalar com
não retorna o próprio vetor, ou seja,
.