Os conjuntos abaixo não são espaços vetoriais. Identifique uma condição que falha em cada caso.
b) V=R^3, munido das seguintes operações de soma e multiplicação por escalar, respectivamente: (x, y, z)+(x^prime, y^prime, z^prime)=(x+x^prime, y+y^prime, z+z^prime) e k(x, y, z)=(0,0,0).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto V = R^3 com operações de soma e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
(x, y, z) + (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z')
k(x, y, z) = (0, 0, 0)
Queremos identificar qual condição dos espaços vetoriais não está sendo satisfeita nesse caso. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Um espaço vetorial deve satisfazer várias axiomas, como associatividade e comutatividade da adição, existência de um elemento neutro, distributividade da multiplicação por escalar, entre outros. Vamos focar em uma propriedade fundamental: a existência de um elemento neutro para a multiplicação por escalar.

Passo 3

Uma das propriedades dos espaços vetoriais é que multiplicar qualquer vetor pelo escalar 1 deve retornar o próprio vetor, ou seja:
1 cdot v = v
Vamos verificar se isso acontece com as definições dadas.

Passo 4

Segundo a definição fornecida:
1 cdot (x, y, z) = (0, 0, 0)
Mas, segundo a propriedade dos espaços vetoriais, deveríamos ter:
1 cdot (x, y, z) = (x, y, z)
Isso mostra que a operação de multiplicação por escalar não está cumprindo essa condição.

Resposta

A condição que falha é que a multiplicação por escalar com k = 1 não retorna o próprio vetor, ou seja, 1 cdot v neq v .

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