Mostre o subconjunto P=p(x) in P2(x, R) ; p(0)=0 é um subespaço do espaço vetorial P2(x, R)=p(x)=a x^2+b x+c ; a, b, c in R, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto de polinômios P2(x, R) que são do tipo p(x) = ax^2 + bx + c , onde a, b, c são números reais. O subconjunto P é formado por esses polinômios que satisfazem p(0) = 0 . Nosso objetivo é mostrar que P é um subespaço de P2(x, R) . Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de espaços vetoriais e subespaços, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa p(0) = 0 . Se substituirmos x = 0 em p(x) = ax^2 + bx + c , temos:
p(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c
Então, para que p(0) = 0 , precisamos que c = 0 . Portanto, os polinômios no subconjunto P são da forma:
p(x) = ax^2 + bx
Isso significa que P consiste em todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 sem o termo constante.

Passo 3

Agora, para mostrar que P é um subespaço, precisamos verificar três condições:
  1. O vetor zero está em P .
  2. P é fechado sob adição.
  3. P é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 4

1. O vetor zero está em P .
O vetor zero no espaço P2(x, R) é o polinômio p(x) = 0x^2 + 0x + 0 . Substituindo em p(0) :
p(0) = 0 = 0
Então, o vetor zero está em P .

Passo 5

2. P é fechado sob adição.
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em P :
p1(x) = a1x^2 + b1x e p2(x) = a2x^2 + b2x
A soma deles é:
p1(x) + p2(x) = (a1 + a2)x^2 + (b1 + b2)x
Note que o termo constante é zero. Portanto, p1(x) + p2(x) também está em P .

Passo 6

3. P é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um polinômio qualquer em P e multiplicar por um escalar k in R :
p(x) = ax^2 + bx Rightarrow k cdot p(x) = kax^2 + kbx
Ainda não temos termo constante, então k cdot p(x) também está em P .

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço foram satisfeitas, concluímos que P é, de fato, um subespaço do espaço vetorial P2(x, R) .

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