Mostre o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto de polinômios
que são do tipo
, onde
são números reais. O subconjunto
é formado por esses polinômios que satisfazem
. Nosso objetivo é mostrar que
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de espaços vetoriais e subespaços, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Se substituirmos
em
, temos:
Então, para que
, precisamos que
. Portanto, os polinômios no subconjunto
são da forma:
Isso significa que
consiste em todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 sem o termo constante.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um subespaço, precisamos verificar três condições:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 4
1. O vetor zero está em
.
O vetor zero no espaço
é o polinômio
. Substituindo em
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 5
2.
é fechado sob adição.
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
:
A soma deles é:
Note que o termo constante é zero. Portanto,
também está em
.
Passo 6
3.
é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um polinômio qualquer em
e multiplicar por um escalar
:
Ainda não temos termo constante, então
também está em
.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço foram satisfeitas, concluímos que
é, de fato, um subespaço do espaço vetorial
.