Determine as transformações inversas, , das transformações da questão 1 que foram inversíveis.
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T(x, y)=(x-y ; 3 x-3 y)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformação inversa para a transformação dada . Isso está dentro do conteúdo de transformações lineares e matrizes. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de matrizes e a condição para uma transformação ter uma inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação . Ela pega um par de números e transforma em outro par . Podemos representar essa transformação usando uma matriz.
A forma geral de uma transformação linear no plano é:
onde é a matriz da transformação.
Passo 3
Vamos encontrar a matriz que representa . Observando a transformação:
Podemos escrever isso como:
Então, a matriz A é:
A = 1 & -1 3 & -3
Passo 4
Para que a transformação T tenha uma inversa T^-1 , a matriz A precisa ser invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = (1)(-3) - (-1)(3) = -3 + 3 = 0
Passo 5
Como o determinante de A é zero ( det(A) = 0 ), isso significa que a matriz A não é invertível. Portanto, a transformação T não tem uma inversa.
Resposta
A transformação T não é invertível, ou seja, T^-1 não existe.