Determine as transformações inversas, , das transformações da questão 1 que foram inversíveis.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\
& T(x, y, z)=(-x+4 y-z, 2 x+7 y+2 z, 9 x+10 y+9 z) .
\end{aligned}
$

Passo 1

O enunciado pede para achar, se existir, a inversa da transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(-x+4y-z,;2x+7y+2z,;9x+10y+9z)
O conteúdo necessário é verificar a invertibilidade via o determinante da matriz associada e, em caso afirmativo, usar a fórmula T^-1(v)=A^-1v.

Passo 2

Vamos escrever como multiplicação por uma matriz na base canônica:
de modo que .

Passo 3

Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =(-1)det!7&210&9 -4det!2&29&9 +(-1)det!2&79&10
Agora cada menor:
det!7&210&9 =7cdot9-2cdot10=43, det!2&29&9 =2cdot9-2cdot9=0,
det!2&79&10 =2cdot10-7cdot9=-43
Logo
det(A)=(-1)cdot43-4cdot0+(-1)cdot(-43)=-43+43=0

Passo 4

Como det(A)=0, a transformação linear não é invertível (um mapeamento linear em R^n só tem inversa se a matriz associada tiver determinante diferente de zero). Portanto não existe T^-1.

Resposta

A transformação T não é invertível e, consequentemente, não existe T^-1.

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