Determine as transformações inversas,
, das transformações da questão 1 que foram inversíveis.
$
\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\
& T(x, y, z)=(-x+4 y-z, 2 x+7 y+2 z, 9 x+10 y+9 z) .
\end{aligned}
$
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\begin{aligned}
& T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\
& T(x, y, z)=(-x+4 y-z, 2 x+7 y+2 z, 9 x+10 y+9 z) .
\end{aligned}
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Passo 1
O enunciado pede para achar, se existir, a inversa da transformação linear
O conteúdo necessário é verificar a invertibilidade via o determinante da matriz associada e, em caso afirmativo, usar a fórmula
.
Passo 2
Vamos escrever
como multiplicação por uma matriz
na base canônica:
de modo que .
Passo 3
Calcular o determinante de
A por expansão na primeira linha:
Agora cada menor:
Logo
Passo 4
Como
det(A)=0 , a transformação linear não é invertível (um mapeamento linear em
R^n só tem inversa se a matriz associada tiver determinante diferente de zero). Portanto não existe
T^-1 .
Resposta
A transformação
T não é invertível e, consequentemente, não existe
T^-1 .