Quais dos conjuntos abaixo são base do P2(R) ?
(1) 1-3 x+2 x^2, 1+x+4 x^2, 1-7 x
(2) 4+6 x+x^2,-1+4 x+2 x^2, 5+2 x-x^2
(3) 1+x+x^2, x+x^2, x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos três subconjuntos de polinômios em ,P2(R) formam base. Num espaço de dimensão 3, um conjunto de 3 vetores (aqui polinômios) é base se e somente se for linearmente independente (ou equivalentemente, seu determinante de coeficientes for não nulo).

Passo 2

Para cada conjunto, escrevemos a matriz cujas linhas são os vetores de coeficientes (a0,a1,a2) dos polinômios a0 + a1 x + a2 x^2 e calculamos o determinante.

Passo 3

Conjunto (1):
Polinômios e coeficientes
1-3x+2x^2to(1,-3,2), 1+x+4x^2to(1,1,4), 1-7xto(1,-7,0)
Matriz
A1= 1 & -3 & 2 1 & 1 & 4 1 & -7 & 0
Determinante
det(A1) =11&4-7&0 -(-3)1&41&0 +21&11&-7 =28-12-16=0
Como det(A1)=0, o conjunto (1) não é base.

Passo 4

Conjunto (2):
Polinômios e coeficientes
4+6x+x^2to(4,6,1), -1+4x+2x^2to(-1,4,2), 5+2x-x^2to(5,2,-1)
Matriz
A2= 4 & 6 & 1 -1 & 4 & 2 5 & 2 & -1
Determinante
det(A2) =44&22&-1 -6-1&25&-1 +1-1&45&2 =-32+54-22=0
Como det(A2)=0, o conjunto (2) não é base.

Passo 5

Conjunto (3):
Polinômios e coeficientes
1+x+x^2to(1,1,1), x+x^2to(0,1,1), x^2to(0,0,1)
Matriz triangular
A3= 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 ,
cujo determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A3)=1cdot1cdot1=1neq0
Logo, o conjunto (3) é linearmente independente e portanto é base de P2(R).

Resposta

Apenas o conjunto (3) é base de P2(R).

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