Considere o sistema linear homogêneo
l x1+3 x2+2 x3-x4-x5=0 2 x1+6 x2+5 x3+x4-x5=0 5 x1+15 x2+12 x3+x4-3 x5=0
(1) Mostre que o conjunto solução é um espaço vetorial.
(2) Determine uma base e a dimensão do conjunto solução.

Passo 1

Temos o sistema homogêneo em
O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais e resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss. Para (1) vamos usar que o conjunto solução de (A\mathbf x=\mathbf0] é sempre subespaço vetorial se fechar em soma e multiplicação escalar. Para (2) iremos escalonar a matriz dos coeficientes, encontrar variáveis livres, expressar as variáveis pivô em função delas e extrair uma base paramétrica.

Passo 2

Mostramos que o conjunto solução
S = xinR^5mid A x = 0
é um subespaço de R^5. Primeiro, 0in S pois A0=0. Em seguida, se u, vin S então A( u+ v)=A u + A v=0+0=0, logo u+ vin S. Finalmente, para qualquer escalar lambda,
A(lambda u)=lambda(A u)=lambda0=0,
então lambda uin S. Assim S é fechado em soma e multiplicação escalar, ou seja, é um espaço vetorial.

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss:
1 & 3 & 2 & -1 & -1 2 & 6 & 5 & 1 & -1 5 & 15 &12 & 1 & -3
Fazendo R2 R2-2R1 e R3 R3-5R1 obtemos
1 & 3 & 2 & -1 & -1 0 & 0 & 1 & 3 & 1 0 & 0 & 2 & 6 & 2
Em seguida R3 R3-2R2 dá a linha zero, restando pivôs em colunas 1 e 3. O posto é 2 e há 5-2=3 variáveis livres.

Passo 4

Chamemos variáveis livres x2, x4, x5. Das equações escalonadas:
  1. x3+3x4+x5=0, logo
x3=-3x4-x5
  1. x1+3x2+2x3-x4-x5=0. Substituindo x3,
x1+3x2+2(-3x4-x5)-x4-x5=0 ;Longrightarrow; x1=-3x2+7x4+3x5

Passo 5

Assim a solução geral é
x = (x1,x2,x3,x4,x5) = x2-31000 + x470-310 + x530-101
Os vetores que aparecem como coeficientes de x2,x4,x5 formam um conjunto gerador livre.

Resposta

Uma base do espaço solução é
-31000, 70-310, 30-101 ,
e a dimensão é 3.

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