(1) Mostre que o conjunto solução é um espaço vetorial.
(2) Determine uma base e a dimensão do conjunto solução.
Passo 1
Temos o sistema homogêneo em
O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais e resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss. Para (1) vamos usar que o conjunto solução de (A\mathbf x=\mathbf0] é sempre subespaço vetorial se fechar em soma e multiplicação escalar. Para (2) iremos escalonar a matriz dos coeficientes, encontrar variáveis livres, expressar as variáveis pivô em função delas e extrair uma base paramétrica.
Passo 2
Mostramos que o conjunto solução
S = xinR^5mid A x = 0
é um subespaço de R^5. Primeiro, 0in S pois A0=0. Em seguida, se u, vin S então A( u+ v)=A u + A v=0+0=0, logo u+ vin S. Finalmente, para qualquer escalar lambda,
A(lambda u)=lambda(A u)=lambda0=0,
então lambda uin S. Assim S é fechado em soma e multiplicação escalar, ou seja, é um espaço vetorial.
Passo 3
Escrevemos a matriz dos coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss: