Sejam B=(1,0),(0,1), B1=(-1,1),(1,1), B2=(raiz3, 1),(raiz3,-1), e B3=(2,0),(0,2) bases ordenadas do R^2.
(1) Ache as matrizes mudança de base [I]B^B1,[I]B1^B,[I]B2^B e [I]B3^B.
(2) Quais as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação às bases B, B1, B2 e B3 ?
(3) Se as coordenadas do vetor u na base B1 são [u]B1=binom40, quais as coordenadas de u em relação às bases B, B2 e B3 ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas em R^2:
– ( 1) as matrizes de mudança de base
[I]B^B1,[I]B1^B,[I]B2^B e [I]B3^B;
– ( 2) as coordenadas de v=(3,-2) nas bases B,B1,B2,B3;
– ( 3) se [u]B1=binom40, encontrar [u]B,[u]B2,[u]B3.
Conteúdo: mudança de base em espaços vetoriais de dimensão 2. Vamos usar que as colunas de [I],E^F são as coordenadas dos vetores da base E escritas na base F, e inversamente para [I],F^E.

Passo 2

Calcular [I]B^B1. As colunas são [e1]B1 e [e2]B1, onde e1=(1,0) e e2=(0,1). Escrevemos
(1,0)=a(-1,1)+b(1,1)
-a+b=1, a+b=0 Rightarrow a=-tfrac12,;b=tfrac12.
(0,1)=a'(-1,1)+b'(1,1)
-a'+b'=0, a'+b'=1 Rightarrow a'=tfrac12,;b'=tfrac12.
Logo,
[I]B^B1 =-tfrac12 & tfrac12 [6pt] tfrac12 & tfrac12 ]

Passo 3

Calcular [I]B1^B. As colunas são os vetores de B1=(-1,1),(1,1) escritos na base B. Assim,
[I]B1^B =-1 & 1 [4pt] 1 & 1 ]

Passo 4

Calcular [I]B2^B e [I]B3^B.
– Para B2=(raiz3,1),(raiz3,-1):
[I]B2^B =raiz3 & raiz3 [4pt]1 & -1
– Para B3=(2,0),(0,2):
[I]B3^B =2 & 0 [4pt]0 & 2 ]

Passo 5

Coordenadas de v=(3,-2).
1. Em B (base padrão):
[v]B=binom3-2
2. Em B1:
[v]B1=[I]B^B1,[v]B.
-tfrac12 & tfrac12 [4pt]tfrac12 & tfrac12 binom3-2 =binom-tfrac12cdot3+tfrac12cdot(-2)tfrac12cdot3+tfrac12cdot(-2) =binom-tfrac52tfrac12
3. Em B2: resolvemos
(3,-2)=alpha(raiz3,1)+beta(raiz3,-1),
que dá o sistema
raiz3(alpha+beta)=3, alpha-beta=-2.
Daí alpha=tfracraiz3-22,;beta=tfracraiz3+22.
[v]B2 =binomtfracraiz3-22tfracraiz3+22
4. Em B3: basta dividir pelas colunas de [I]B3^B:
(3,-2)=x(2,0)+y(0,2)implies x=tfrac32,;y=-1,
logo
[v]B3 =binomtfrac32-1 ]

Passo 6

Se [u]B1=binom40, então
1. Em B:
[u]B=[I]B1^B,[u]B1.
-1 & 1 [4pt]1 & 1 binom40 =binom-44
2. Em B2: resolvemos
(-4,4)=alpha(raiz3,1)+beta(raiz3,-1),
isto é raiz3(alpha+beta)=-4,;alpha-beta=4.
Daí alpha=2-tfrac2raiz3,;beta=-2-tfrac2raiz3.
[u]B2 =binom2-tfrac2raiz3-2-tfrac2raiz3
3. Em B3:
(-4,4)=x(2,0)+y(0,2)implies x=-2,;y=2,
[u]B3 =binom-22 ]

Resposta

( 1)
[I]B^B1 =-tfrac12 & tfrac12 [4pt]tfrac12 & tfrac12, [I]B1^B =-1 & 1 [4pt]1 & 1, [I]B2^B =raiz3 & raiz3 [4pt]1 & -1, [I]B3^B =2 & 0 [4pt]0 & 2
( 2)
[v]B=binom3-2, [v]B1=binom-tfrac52tfrac12, [v]B2=binomtfracraiz3-22tfracraiz3+22, [v]B3=binomtfrac32-1
( 3)
[u]B=binom-44, [u]B2=binom2-tfrac2raiz3-2-tfrac2raiz3, [u]B3=binom-22 ]

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