Mostre que o conjunto (cc3 & 6 3 & -6),(cc0 & -1 1 & 0),(cc0 & -8 -12 & -4),(cc1 & 0 -1 & 2) forma uma base para M2(R).

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes em M2(R) e pede para mostrar que elas formam uma base. Sabendo que dim M2(R)=4, basta provar que essas quatro matrizes são linearmente independentes.

Passo 2

Rotule as matrizes e transforme cada uma em um vetor de R^4 arranjando linhas por (linha 1,linha 2). Assim:
v1=3&63&-6longmapsto(3,6,3,-6), v2=0&-11&0longmapsto(0,-1,1,0),
v3=0&-8-12&-4longmapsto(0,-8,-12,-4), v4=1&0-1&2longmapsto(1,0,-1,2)

Passo 3

Considere a combinação linear nula
alpha1,v1+alpha2,v2+alpha3,v3+alpha4,v4 = (0,0,0,0)
Isso gera o sistema em alpha1,alpha2,alpha3,alpha4:
3alpha1 + alpha4 = 0, 6alpha1 -alpha2 -8alpha3 = 0, 3alpha1 +alpha2 -12alpha3 -alpha4 = 0, -6alpha1 -4alpha3 +2alpha4 = 0

Passo 4

Resolva o sistema:
Da primeira equação vem alpha4=-3alpha1.
Da segunda, alpha2=6alpha1-8alpha3.
Na terceira, substituindo alpha2 e alpha4:
3alpha1+(6alpha1-8alpha3)-12alpha3-(-3alpha1)=0 ;Longrightarrow;12alpha1-20alpha3=0 ;Longrightarrow;alpha3=tfrac35,alpha1
Então alpha2=6alpha1-8cdottfrac35alpha1=tfrac65alpha1.
Por fim, na quarta equação:
-6alpha1 -4cdottfrac35alpha1 +2(-3alpha1)= -tfrac725alpha1=0 ;Longrightarrow;alpha1=0
Logo alpha1=alpha2=alpha3=alpha4=0.

Passo 5

Como a única solução da combinação linear nula é trivial, os vetores v1,v2,v3,v4 são linearmente independentes em R^4. Portanto as quatro matrizes originais são linearmente independentes em M2(R) e, por serem exatamente quatro em um espaço de dimensão 4, formam uma base.

Resposta

O conjunto dado forma uma base de M2(R).

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