Quais dos conjuntos abaixo são base do R^3 ?
(1) (1,1,0),(2,2,0),(3,3,0)
(2) (3,1,-4),(2,5,6),(1,4,8)
(3) (1,6,4),(2,4,-1),(-2,2,5)

Passo 1

O enunciado dá três coleções de três vetores em R^3 e pergunta quais delas formam base. O conteúdo é dependência linear em R^3 e o critério que vamos usar é o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores: se for não nulo, eles são linearmente independentes e, tendo 3 vetores em R^3, formam base.

Passo 2

Sejam v1,v2,v3inR^3. Elas formam base se, e somente se,
detl[v1;v2;v3r]neq 0

Passo 3

Para o conjunto (1): os vetores são (1,1,0), (2,2,0), (3,3,0). A matriz correspondente é
1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 ,
cujo determinante é zero (duas linhas iguais e uma linha nula). Logo são linearmente dependentes e não formam base.

Passo 4

Para o conjunto (2): os vetores são (3,1,-4), (2,5,6), (1,4,8). O determinante é
det 3 & 2 & 1 1 & 5 & 4 -4 & 6 & 8 =3,(5cdot8-6cdot4)-1,(2cdot8-6cdot1)-4,(2cdot4-5cdot1) =48-10-12=26neq0
Portanto formam base.

Passo 5

Para o conjunto (3): os vetores são (1,6,4), (2,4,-1), (-2,2,5). O determinante é
det 1 & 2 & -2 6 & 4 & 2 4 & -1 & 5 =1,(4cdot5-(-1)cdot2)-6,(2cdot5-(-1)cdot(-2))+4,(2cdot2-4cdot(-2)) =22-48+48=22neq0
Logo também formam base.

Resposta

Os conjuntos que são base de R^3 são os itens (2) e (3).

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