Seja V subset M3 times 3 o conjunto das matrizes anti-simétricas 3 times 3. Responda:
(1) Verifique que V é um subespaço de Mn(R)
(2) Quanto vale dim V ?.

Passo 1

O enunciado define Vsubset M3times3(R) como o conjunto das matrizes anti-simétricas, isto é, das matrizes A tais que A^T=-A. O conteúdo envolve verificação de subespaço vetorial (fechamento sob soma e produto por escalar) e cálculo de dimensão.

Passo 2

Para mostrar que V é um subespaço, primeiro verificamos que V não é vazio: a matriz nula 0 satisfaz (0)^T=-0, logo 0in V.

Passo 3

Agora, tomemos A,Bin V. Então
(A+B)^T = A^T + B^T = (-A)+(-B)=-(A+B),
o que prova que A+Bin V. Assim V é fechado sob adição.

Passo 4

Se Ain V e lambdainR, então
(lambda A)^T = lambda,A^T = lambda,(-A) = -(lambda A),
logo lambda Ain V. Assim V é fechado sob multiplicação por escalar e, portanto, é subespaço vetorial de M3times3(R).

Passo 5

Para calcular dim V, note que em uma matriz anti-simétrica A=(aij) temos aii=0 e aij=-aji. Logo os únicos graus de liberdade são os elementos acima da diagonal principal: a12,a13,a23. Isso dá exatamente 3 entradas independentes.

Resposta

(1) V é subespaço de M3times3(R).
(2) dim V = 3.

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