Seja
o conjunto das matrizes anti-simétricas
. Responda:
(1) Verifique que
é um subespaço de
(2) Quanto vale
?.
(1) Verifique que
(2) Quanto vale
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto das matrizes anti-simétricas, isto é, das matrizes
tais que
. O conteúdo envolve verificação de subespaço vetorial (fechamento sob soma e produto por escalar) e cálculo de dimensão.
Passo 2
Para mostrar que
é um subespaço, primeiro verificamos que
não é vazio: a matriz nula
satisfaz
, logo
.
Passo 3
Agora, tomemos
. Então
o que prova que
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 4
Se
e
, então
logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar e, portanto, é subespaço vetorial de
.
Passo 5
Para calcular
, note que em uma matriz anti-simétrica
temos
e
. Logo os únicos graus de liberdade são os elementos acima da diagonal principal:
. Isso dá exatamente 3 entradas independentes.
Resposta
(1)
é subespaço de
.
(2) .
(2)