Seja W o subespaço de M3 times 2(R) gerado por (cc0 & 0 1 & 1 0 & 0),(cc0 & 1 0 & -1 1 & 0),(ll0 & 1 0 & 0 0 & 0). O vetor (ll0 & 2 3 & 4 5 & 0) pertence a W ?

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a matriz
V = 0 & 2 3 & 4 5 & 0
pertence ao subespaço Wsubset M3times2( R) gerado pelos vetores
U1 = 0 & 0 1 & 1 0 & 0, U2 = 0 & 1 0 & -1 1 & 0, U3 = 0 & 1 0 & 0 0 & 0
Para isso, basta testar se existem escalares a,b,cin R tais que
a,U1 + b,U2 + c,U3 = V

Passo 2

Escrevemos explicitamente a combinação linear em forma de matriz:
a0 & 0 1 & 1 0 & 0 + b0 & 1 0 & -1 1 & 0 + c0 & 1 0 & 0 0 & 0 = 0 & 2 3 & 4 5 & 0
Agora igualamos entrada a entrada e obtemos um sistema para a,b,c.

Passo 3

Da igualdade de matrizes extraímos as equações:
  1. Primeira linha, segunda coluna:
b + c = 2
  1. Segunda linha, primeira coluna:
a = 3
  1. Segunda linha, segunda coluna:
a - b = 4
  1. Terceira linha, primeira coluna:
b = 5
(As demais entradas são triviais ou repetidas.)

Passo 4

Substituindo a=3 na terceira equação a - b = 4
3 - b = 4Longrightarrow b = -1
Mas da quarta equação temos b = 5. Isso é uma contradição, pois não existe número que seja simultaneamente -1 e 5.

Passo 5

Como o sistema é inconsistente, não existem escalares a,b,c que realizem a combinação linear desejada. Logo, V não pertence a W.

Resposta

Não, 0 & 2 3 & 4 5 & 0notin W.

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