Considere o sistema linear não-homogêneo , em que é uma matriz de ordem , é o vetor-coluna de incógnitas, e é o vetor-coluna de constantes.
(1) Mostre que esse sistema pode ser reescrito como uma combinação linear das colunas de , vistas como vetores no , e com coeficientes iguais às componentes de .
(2) Dessa pespectiva, mostre que o vetor pertence ao espaço gerado pelos vetores-coluna de se e somente se o posto da matriz é igual ao posto de sua respectiva matriz aumentada.
(3) Encontre o sistema linear homogêneo cujo conjunto solução é gerado pelos vetores (1, -2, 0, 3), , e ( .
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear não– homogêneo
once é uma matriz , e . Queremos ver que isso significa expressar como combina\c{c}~ao linear das colunas de . A partir daí, mostrar que est’a no espa\c{c}o gerado pelas colunas de se, e somente se, . Finalmente, dado o subespa\c{c}o de gerado por
encontrar um sistema homog^eneo cujas solu\c{c}~oes s~ao exatamente todos os vetores desse subespa\c{c}o.
Passo 2
Para (), escrevemos em termos de suas colunas:
onde cada . Então
Logo o sistema A,X=b é equivalente a
b = x1,a1 + x2,a2 + cdots + xn,an,
ou seja, b é uma combinação linear das colunas de A.
Passo 3
Para (2), pela definição, b pertence ao espaço coluna de A (ou seja, Col(A)) se e somente se existe solução para A,X=b. É um fato padrão em álgebra linear que um sistema é consistente se, e somente se, o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada. Assim obtemos
bin Col(A)Long<=ftrightarrow A,X=b é consistente Long<=ftrightarrow rank(A)=rankl([Amid b]r) é
Passo 4
Para
Escrevendo essas proje\c{c}~oes:
Dessas tr^es equa\c{c}~oes, apenas duas s~ao linearmente independentes. Por exemplo:
–\ da diferen\c{c}a da segunda pela primeira vem
e junto com a primeira
j’a geram toda a condi\c{c}~ao. Logo o espa\c{c}o dos normais 'e bidimensional, e podemos extrair uma base dele.
Escolhendo par^ametros , obtemos dois vetores normais independentes:
Basta ent~ao montar o sistema com essas linhas:
Cada vetor e , logo pertence ao span de , e n~ao h’a outras solu\c{c}~oes porque s~ao duas equa\c{c}~oes independentes em quatro inc’ognitas, ent~ao a nulidade 'e , igual `a dimens~ao do span (os tr^es s~ao s’o dois efetivamente independentes).
Resposta
1
A,X = x1,a1 + x2,a2 + cdots + xn,an
2
binCol(A)iff rank(A)=rankl([Amid b]r)
3 Um sistema homog^eneo cujo conjunto– solu\c{c}~ao 'e Span(1,-2,0,3),,(1,-1,-1,4),,(1,0,-2,5) 'e