Considere o sistema linear não-homogêneo A X=b, em que A é uma matriz de ordem m times n, X é o vetor-coluna n times 1 de incógnitas, e b é o vetor-coluna m times 1 de constantes.
(1) Mostre que esse sistema pode ser reescrito como uma combinação linear das colunas de A, vistas como vetores no R^m, e com coeficientes iguais às componentes de X.
(2) Dessa pespectiva, mostre que o vetor b pertence ao espaço gerado pelos vetores-coluna de A se e somente se o posto da matriz A é igual ao posto de sua respectiva matriz aumentada.
(3) Encontre o sistema linear homogêneo cujo conjunto solução é gerado pelos vetores (1, -2, 0, 3), (1,-1,-1,4), e ( 1,0,-2,5).

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear não– homogêneo
A,X = b,
once A é uma matriz mtimes n, X=(x1,dots,xn)^T e binR^m.
1 Queremos ver que isso significa expressar b como combina\c{c}~ao linear das colunas de A.
2 A partir daí, mostrar que b est’a no espa\c{c}o gerado pelas colunas de A se, e somente se, rank(A)=rank([Amid b]).
3 Finalmente, dado o subespa\c{c}o de R^4 gerado por
v1=(1,-2,0,3), v2=(1,-1,-1,4), v3=(1,0,-2,5),
encontrar um sistema homog^eneo cujas solu\c{c}~oes s~ao exatamente todos os vetores desse subespa\c{c}o.

Passo 2

Para ( 1), escrevemos A em termos de suas colunas:
A = l[,a1;;a2;;cdots;;anr],
onde cada ajinR^m. Então
A,X = l[,a1;cdots;anr] x1 vdots xn = x1,a1 + x2,a2 + cdots + xn,an
Logo o sistema A,X=b é equivalente a
b = x1,a1 + x2,a2 + cdots + xn,an,
ou seja, b é uma combinação linear das colunas de A.

Passo 3

Para ( 2), pela definição, b pertence ao espaço coluna de A (ou seja, Col(A)) se e somente se existe solução para A,X=b. É um fato padrão em álgebra linear que um sistema é consistente se, e somente se, o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada. Assim obtemos
bin Col(A)Long<=ftrightarrow A,X=b é consistente Long<=ftrightarrow rank(A)=rankl([Amid b]r) é

Passo 4

Para
Escrevendo essas proje\c{c}~oes:
Dessas tr^es equa\c{c}~oes, apenas duas s~ao linearmente independentes. Por exemplo:
–\ da diferen\c{c}a da segunda pela primeira vem
e junto com a primeira
j’a geram toda a condi\c{c}~ao. Logo o espa\c{c}o dos normais 'e bidimensional, e podemos extrair uma base dele.
Escolhendo par^ametros , obtemos dois vetores normais independentes:
Basta ent~ao montar o sistema com essas linhas:
Cada vetor e , logo pertence ao span de , e n~ao h’a outras solu\c{c}~oes porque s~ao duas equa\c{c}~oes independentes em quatro inc’ognitas, ent~ao a nulidade 'e , igual `a dimens~ao do span (os tr^es s~ao s’o dois efetivamente independentes).

Resposta

1
A,X = x1,a1 + x2,a2 + cdots + xn,an
2
binCol(A)iff rank(A)=rankl([Amid b]r)
3 Um sistema homog^eneo cujo conjunto– solu\c{c}~ao 'e Span(1,-2,0,3),,(1,-1,-1,4),,(1,0,-2,5) 'e
2x1 + x2 + x3 = 0,
-5x1 - x2 + x4 = 0

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