Encontre as coordenadas de v=(3,3,3) na base (2,-1,3),(1,0,0),(2,2,0).

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor ,(3,3,3) na base
,b1=(2,-1,3),;b2=(1,0,0),;b3=(2,2,0)
O conteúdo é mudança de base em R^3: temos que achar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,b1+beta,b2+gamma,b3=(3,3,3)

Passo 2

Escrevemos a combinação linear coordenada a coordenada. Como
alpha,(2,-1,3)+beta,(1,0,0)+gamma,(2,2,0) =(3,3,3),
isso gera o sistema
2alpha + beta + 2gamma = 3, -,alpha ;+;0beta ;+;2gamma = 3, 3alpha + 0beta + 0gamma = 3

Passo 3

Da terceira equação temos
3alpha = 3 Longrightarrow alpha = 1

Passo 4

Substituindo alpha=1 na segunda equação:
-1 + 2gamma = 3 Longrightarrow 2gamma = 4 Longrightarrow gamma = 2

Passo 5

Finalmente, substituindo alpha=1 e gamma=2 na primeira equação:
2cdot1 + beta + 2cdot2 = 3 Longrightarrow 2 + beta + 4 = 3 Longrightarrow beta = -3

Resposta

As coordenadas de (3,3,3) na base dada são
(1,,-3,;2)

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