Quais dos conjuntos abaixo são gerados para o Espaço Vetorial Euclidiano R^3 :
a) (1,0,0),(0,1,1),(1,0,1)
b) (1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,2,3)
c) (2,1,-2),(3,2,-2),(2,2,0)
d) (2,1,-2),(-2,-1,2),(4,2,-4)
e) (1,1,3),(0,2,1)

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos listados geram o espaço vetorial R^3. Em outras palavras, precisamos verificar para cada conjunto se o span dos vetores é todo R^3. Para isso usamos o fato de que um conjunto de vetores em R^3 gera o espaço se, e somente se, contém três vetores linearmente independentes (isto equivale a ter posto 3).

Passo 2

Conjunto (a):
(1,0,0),,(0,1,1),,(1,0,1).
Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1
det(A) =1cdot(1cdot1-0cdot1);-;0cdot(0cdot1-0cdot0);+;1cdot(0cdot1-1cdot0) =1neq0
Como o determinante é não nulo, esses três vetores são linearmente independentes e geram R^3.

Passo 3

Conjunto (b):
(1,0,0),,(0,1,1),,(1,0,1),,(1,2,3).
Já sabemos que os três primeiros vetores de (b) são independentes e geram R^3. Adicionar um quarto vetor não diminui o span, logo o conjunto (b) também gera R^3.

Passo 4

Conjunto (c):
(2,1,-2),,(3,2,-2),,(2,2,0).
Novamente formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
B= 2 & 3 & 2 1 & 2 & 2 -2 & -2 & 0
Calculando o determinante:
det(B) =2l(2cdot0 - 2cdot(-2)r) -3l(1cdot0 - 2cdot(-2)r) +2l(1cdot(-2)-2cdot2r) =2(4)-3(4)+2(-6) =8-12-12=-16neq0
Determinante não nulo implica independência e geração de R^3.

Passo 5

Conjunto (d):
(2,1,-2),,(-2,-1,2),,(4,2,-4).
Note que (-2,-1,2)=-1cdot(2,1,-2) e (4,2,-4)=2cdot(2,1,-2). Todos são múltiplos do mesmo vetor, então o posto é 1 e não geram R^3.

Passo 6

Conjunto (e):
(1,1,3),,(0,2,1).
São apenas dois vetores, no máximo geram um subespaço de dimensão 2, portanto não alcançam todo R^3.

Resposta

Os conjuntos que geram R^3 são:
a)
b)
c)

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