Quais dos conjuntos abaixo são gerados para o Espaço Vetorial Euclidiano :
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos listados geram o espaço vetorial . Em outras palavras, precisamos verificar para cada conjunto se o span dos vetores é todo . Para isso usamos o fato de que um conjunto de vetores em gera o espaço se, e somente se, contém três vetores linearmente independentes (isto equivale a ter posto ).
Passo 2
Conjunto (a): .
Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
Como o determinante é não nulo, esses três vetores são linearmente independentes e geram R^3.
Passo 3
Conjunto (b): (1,0,0),,(0,1,1),,(1,0,1),,(1,2,3).
Já sabemos que os três primeiros vetores de (b) são independentes e geram R^3. Adicionar um quarto vetor não diminui o span, logo o conjunto (b) também gera R^3.
Passo 4
Conjunto (c): (2,1,-2),,(3,2,-2),,(2,2,0).
Novamente formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
Determinante não nulo implica independência e geração de R^3.
Passo 5
Conjunto (d): (2,1,-2),,(-2,-1,2),,(4,2,-4).
Note que (-2,-1,2)=-1cdot(2,1,-2) e (4,2,-4)=2cdot(2,1,-2). Todos são múltiplos do mesmo vetor, então o posto é 1 e não geram R^3.
Passo 6
Conjunto (e): (1,1,3),,(0,2,1).
São apenas dois vetores, no máximo geram um subespaço de dimensão 2, portanto não alcançam todo R^3.