Determine qual subespaço gerado pelo conjunto de vetores abaixo, contido no Espaço Vetorial Euclidiano R^3
S=(-2,5,0),(4,6,3)

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de R^3 gerado pelos vetores
v1=(-2,5,0), v2=(4,6,3)
O conceito principal aqui é o de span (ou espaço gerado): dado um conjunto de vetores, o subespaço gerado é o conjunto de todas as combinações lineares deles.

Passo 2

Primeiro, verificamos se v1 e v2 são linearmente independentes. Basta ver se um é múltiplo escalar do outro. Como não existe lambdainR tal que
(-2,5,0)=lambda,(4,6,3),
eles são independentes. Logo, dim(spanv1,v2)=2, isto é, um plano em R^3.

Passo 3

O subespaço gerado é o conjunto de todas as combinações lineares:
S = spanv1,v2 = lalpha,v1+beta,v2mid alpha,betainRr
Em coordenadas, escrevemos
S = l(-2alpha+4beta,;5alpha+6beta,;3beta)mid alpha,betainRr

Passo 4

Para obter a forma cartesiana (equação do plano), calculamos um vetor normal via produto vetorial:
n = v1times v2 = (-2,5,0)times(4,6,3) = (15,6,-32)
Um plano passando pela origem com normal n=(15,6,-32) satisfaz
15x + 6y -32z = 0

Passo 5

Concluímos que o subespaço S é exatamente o plano de R^3 dado por essa equação.

Resposta

S = span(-2,5,0),(4,6,3) = l(x,y,z)inR^3mid 15x + 6y -32z = 0r

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