Determine qual subespaço gerado pelo conjunto de vetores abaixo, contido no Espaço Vetorial Euclidiano
Passo 1
O enunciado pede o subespaço de
gerado pelos vetores
O conceito principal aqui é o de span (ou espaço gerado): dado um conjunto de vetores, o subespaço gerado é o conjunto de todas as combinações lineares deles.
Passo 2
Primeiro, verificamos se
e
são linearmente independentes. Basta ver se um é múltiplo escalar do outro. Como não existe
tal que
eles são independentes. Logo,
, isto é, um plano em
.
Passo 3
O subespaço gerado é o conjunto de todas as combinações lineares:
Em coordenadas, escrevemos
Passo 4
Para obter a forma cartesiana (equação do plano), calculamos um vetor normal via produto vetorial:
Um plano passando pela origem com normal
satisfaz
Passo 5
Concluímos que o subespaço
é exatamente o plano de
dado por essa equação.