Determine qual subespaço gerado pelo conjunto de vetores abaixo contidos no Espaço Vetorial Euclidiano mathbbR^2 :
S=(-1,2),(2,-4)

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto de vetores S=(-1,2),(2,-4) em R^2 e pede o subespaço gerado por esses vetores. Vamos usar o conceito de subespaço gerado (span) e verificar dependência linear entre os vetores.

Passo 2

Para identificar o subespaço gerado, verificamos se um vetor é múltiplo escalar do outro. Observa-se que
(2,-4) = -2cdot(-1,2),
portanto os dois vetores são linearmente dependentes e geram a mesma reta em R^2.

Passo 3

Como ambos geram a mesma reta, basta considerar um único gerador. Logo,
span(S) = span(-1,2) = ,t(-1,2)mid tinR,

Passo 4

Escrevendo em forma cartesiana, um vetor (x,y) em span(S) satisfaz
(x,y)=(-t,2t)Longrightarrow y=-2x
Assim, o subespaço gerado é a reta que passa pela origem e cujos pontos satisfazem y=-2x.

Resposta

span(S) = (x,y)inR^2mid y=-2x

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