Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
(b) B=-1,1; multiplicação

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o conjunto
B = -1,1
e a operação é a multiplicação usual. Queremos verificar se (B,cdot) satisfaz os axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Verificação do fechamento: os produtos possíveis em B são
1cdot1 = 1, 1cdot(-1) = -1, (-1)cdot1 = -1, (-1)cdot(-1) = 1
Todos os resultados estão em B, logo o fechamento vale.

Passo 3

Associatividade: a multiplicação de números reais é associativa. Como BsubsetR, temos para quaisquer a,b,cin B
(acdot b)cdot c = acdot(bcdot c)

Passo 4

Elemento neutro: verificamos que
1cdot a = acdot1 = a
para todo ain B. Portanto, 1 é o elemento neutro em (B,cdot).

Passo 5

Inversos: para cada ain B existe a^-1in B tal que acdot a^-1=1. De fato,
1^-1=1,(-1)^-1=-1,
e ambos pertencem a B.

Passo 6

Como (B,cdot) satisfaz fechamento, associatividade, tem elemento neutro e todo elemento tem inverso, concluímos que é um grupo.

Resposta

O conjunto B=-1,1 com a operação de multiplicação é um grupo.

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