Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
(b)
; multiplicação
(b)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o conjunto
e a operação é a multiplicação usual. Queremos verificar se
satisfaz os axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Verificação do fechamento: os produtos possíveis em
são
Todos os resultados estão em
, logo o fechamento vale.
Passo 3
Associatividade: a multiplicação de números reais é associativa. Como
, temos para quaisquer
Passo 4
Elemento neutro: verificamos que
para todo
. Portanto,
é o elemento neutro em
.
Passo 5
Inversos: para cada
existe
tal que
. De fato,
e ambos pertencem a
.
Passo 6
Como
satisfaz fechamento, associatividade, tem elemento neutro e todo elemento tem inverso, concluímos que é um grupo.
Resposta
O conjunto
com a operação de multiplicação é um grupo.