Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
(f)
é ímpar
multiplicação
(f)
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação de multiplicação usual em
. Para verificar se
é um grupo, precisamos checar os quatro axiomas de grupo: (i) associatividade, (ii) elemento neutro, (iii) existência de inversos e (iv) fechamento.
Passo 2
Associatividade e fechamento
- A multiplicação inteira é associativa em todo
, logo vale em . - Se
e são ímpares, escrevemos , . Então
que também é ímpar. Logo
. Conclusão: há fechamento.
Passo 3
Elemento neutro
O neutro da multiplicação em é
. E
é ímpar, de modo que
e
para todo
. Portanto, o elemento neutro pertence a
.
O neutro da multiplicação em
Passo 4
Existência de inversos
Para ser grupo, cada precisa de um
tal que
. Mas em
só
têm inverso multiplicativo inteiro, pois, por exemplo, não existe
com
. Logo a maior parte dos ímpares não tem inverso em
.
Para ser grupo, cada