Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
(f) D=x in Z mid x é ímpar ; multiplicação

Passo 1

O enunciado define o conjunto
D = ,x in Zmid x é ímpar éí
com a operação de multiplicação usual em Z. Para verificar se (D,times) é um grupo, precisamos checar os quatro axiomas de grupo: (i) associatividade, (ii) elemento neutro, (iii) existência de inversos e (iv) fechamento.

Passo 2

Associatividade e fechamento
  • A multiplicação inteira é associativa em todo Z, logo vale em D.
  • Se a e b são ímpares, escrevemos a=2k+1, b=2ell+1. Então
acdot b = (2k+1)(2ell+1) = 2(2kell+k+ell)+1,
que também é ímpar. Logo acdot bin D. Conclusão: há fechamento.

Passo 3

Elemento neutro
O neutro da multiplicação em Z é 1. E 1 é ímpar, de modo que 1in D e 1cdot a = a para todo ain D. Portanto, o elemento neutro pertence a D.

Passo 4

Existência de inversos
Para ser grupo, cada ain D precisa de um bin D tal que acdot b = 1. Mas em Z pm1 têm inverso multiplicativo inteiro, pois, por exemplo, não existe binZ com 3cdot b=1. Logo a maior parte dos ímpares não tem inverso em D.

Resposta

(D,times) não é grupo, pois não há inversos multiplicativos para elementos ímpares distintos de pm1.

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