Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
(e) C=x in Z mid x é par ; adição

Passo 1

O enunciado define o conjunto
C = xinZmid x é paré
e pede para verificar se (C,+) é um grupo. Vamos aplicar os quatro axiomas de grupo: fechamento, elemento neutro, inverso e associatividade.

Passo 2

Fechamento: Tomemos x,yin C. Então existem k,minZ tais que
x=2k, y=2m
Logo
x+y = 2k + 2m = 2(k+m),
e como k+minZ, segue que x+y é par, ou seja, x+yin C. Portanto C é fechado sob a soma.

Passo 3

Elemento neutro: Sabemos que 0inZ e 0=2cdot0 é par. Além disso, para todo xin C vale
x+0 = x = 0+x
Assim, 0 é o elemento neutro em (C,+).

Passo 4

Inverso: Seja xin C, então x=2k para algum kinZ. O inverso aditivo de x em Z é -x=-2k, que também é par (pois -2k=2(-k)). Logo -xin C e x + (-x)=0.

Passo 5

Associatividade: A operação de soma em Z é associativa, isto é, para quaisquer x,y,zinZ vale
(x+y)+z = x+(y+z)
Como CsubseteqZ, essa propriedade se herda em C.

Resposta

(C,+) satisfaz fechamento, neutro, inverso e associatividade.
Portanto, C é um grupo abeliano sob adição.

Exercícios relacionados