Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
(e)
é par
adição
(e)
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificar se é um grupo. Vamos aplicar os quatro axiomas de grupo: fechamento, elemento neutro, inverso e associatividade.
e pede para verificar se
Passo 2
Fechamento: Tomemos
. Então existem
tais que
Logo
e como
, segue que
é par, ou seja,
. Portanto
é fechado sob a soma.
Passo 3
Elemento neutro: Sabemos que
e
é par. Além disso, para todo
vale
Assim,
é o elemento neutro em
.
Passo 4
Inverso: Seja
, então
para algum
. O inverso aditivo de
em
é
, que também é par (pois
). Logo
e
.
Passo 5
Associatividade: A operação de soma em
é associativa, isto é, para quaisquer
vale
Como
, essa propriedade se herda em
.
Resposta
Portanto,