Se G=a, b, c é um grupo e c é seu elemento neutro, qual a tábua desse grupo?

Passo 1

O enunciado diz que G=a,b,c é um grupo de ordem 3 e que c é o elemento neutro. Precisamos montar a tábua de multiplicação de G usando os axiomas de grupo (fechamento, existência de neutro, existência de inversos e associatividade).

Passo 2

Como c é o neutro de G, obrigatoriamente para todo xin G vale
ccdot x = x e xcdot c = x

Passo 3

Resta definir acdot a. Se tivéssemos acdot a = c, então a teria ordem 2, mas em um grupo de ordem 3 não há elemento de ordem 2 (pelo teorema de Lagrange). Logo escolhemos
acdot a = b,
de modo que a tenha ordem 3.

Passo 4

Agora, como b=acdot a=a^2 e a^3 deve ser o neutro c, obtemos
acdot b = acdot a^2 = a^3 = c, bcdot a = a^2cdot a = a^3 = c, bcdot b = a^2cdot a^2 = a^4 = a

Resposta

A tábua de multiplicação de é

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