Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
é ímpar
multiplicação
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
com a operação de multiplicação é um grupo. Para ser um grupo, precisamos verificar quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Fechamento: devemos ver se o produto de dois ímpares é sempre ímpar. Se
e
são ambos ímpares, escrevemos
e
. Então
que é ímpar. Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação.
Passo 3
Associatividade: a multiplicação de inteiros é sempre associativa, isto é, para quaisquer
,
Portanto, esse axioma está satisfeito.
Passo 4
Elemento neutro: o elemento neutro da multiplicação em
é
, e
é ímpar. Logo,
e para todo
vale
. Esse axioma também está satisfeito.
Passo 5
Inversos: em um grupo, todo elemento
deve ter
tal que
. Aqui, se
é um ímpar diferente de
ou
, o inverso multiplicativo é
, que não é um inteiro. Portanto, não existe inverso em
para, por exemplo,
. Logo, falha o axioma dos inversos.
Resposta
O conjunto
com a multiplicação não é um grupo, pois nem todo elemento tem inverso em
.