Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
B=\{x \in \mathbb{Z} \mid x é ímpar \} ; multiplicação

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
B = \{\,x \in \mathbb{Z}\mid x \text{ é ímpar}\}éí
com a operação de multiplicação é um grupo. Para ser um grupo, precisamos verificar quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Fechamento: devemos ver se o produto de dois ímpares é sempre ímpar. Se x e y são ambos ímpares, escrevemos x = 2k+1 e y=2\ell+1. Então
xy = (2k+1)(2\ell+1) = 4k\ell + 2k + 2\ell +1 = 2(k(2\ell+1) + \ell) +1,
que é ímpar. Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação.

Passo 3

Associatividade: a multiplicação de inteiros é sempre associativa, isto é, para quaisquer x,y,z\in B,
(xy)z = x(yz).
Portanto, esse axioma está satisfeito.

Passo 4

Elemento neutro: o elemento neutro da multiplicação em \mathbb{Z} é 1, e 1 é ímpar. Logo, 1\in B e para todo x\in B vale 1\cdot x = x\cdot 1 = x. Esse axioma também está satisfeito.

Passo 5

Inversos: em um grupo, todo elemento x\in B deve ter x^{-1}\in B tal que x\,x^{-1}=1. Aqui, se x é um ímpar diferente de 1 ou -1, o inverso multiplicativo é 1/x, que não é um inteiro. Portanto, não existe inverso em B para, por exemplo, x=3. Logo, falha o axioma dos inversos.

Resposta

O conjunto B com a multiplicação não é um grupo, pois nem todo elemento tem inverso em B.

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