Considere T: \mathscr{P}_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por p(t) \mapsto(p(1), p(0), p(1)).
(a) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) T é sobrejetora? T é injetora? Calcule \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T)).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathscr P_{2}\to\mathbb R^{3},\quad p(t)\mapsto\bigl(p(1),\,p(0),\,p(1)\bigr).
Aqui \mathscr P_{2} é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Precisamos (a) mostrar que T é linear e (b) decidir se é injetora e/ou sobrejetora, além de calcular \dim(\ker T).

Passo 2

Para provar linearidade, tomemos p,q\in\mathscr P_{2} e \alpha,\beta\in\mathbb R. Então
T\bigl(\alpha p + \beta q\bigr) =\bigl((\alpha p+\beta q)(1),\,(\alpha p+\beta q)(0),\,(\alpha p+\beta q)(1)\bigr).
Pelo fato de p(1) e q(1) serem escalares, segue
(\alpha p+\beta q)(1)=\alpha p(1)+\beta q(1), \quad (\alpha p+\beta q)(0)=\alpha p(0)+\beta q(0).
Logo
T(\alpha p+\beta q) =\bigl(\alpha p(1)+\beta q(1),\,\alpha p(0)+\beta q(0),\,\alpha p(1)+\beta q(1)\bigr) =\alpha\,T(p)+\beta\,T(q).
Isto mostra que T é linear.

Passo 3

Vamos descrever \ker T. Se p(t)=at^2+bt+c estiver em \ker T, então
T(p)=(p(1),\,p(0),\,p(1))=(0,0,0).
Dessas três equações, duas são independentes:
p(0)=c=0, \qquad p(1)=a+b+c=0.
Como c=0, a segunda dá a+b=0, ou seja b=-a. Logo
p(t)=a\,t^2 - a\,t = a\bigl(t^2-t\bigr),
com a\in\mathbb R. Assim
\ker T = \{\,a(t^2-t)\mid a\in\mathbb R\}
é um subespaço gerado por um único polinômio, logo \dim(\ker T)=1.

Passo 4

O espaço \mathscr P_{2} tem dimensão 3. Pela Teoria Fundamental das Transformações Lineares (rank–nullity),
\dim(\im T)=\dim(\mathscr P_{2})-\dim(\ker T)=3-1=2.
Como \im T\subseteq\mathbb R^3 tem dimensão 2, T não é sobrejetora (um subespaço próprio de \mathbb R^3). E como \ker T\neq\{0\}, T não é injetora.

Resposta

T é linear. T não é injetora. T não é sobrejetora. \dim(\ker T)=1.

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