Considere
dada por
.
(a) Mostre que
é uma transformação linear.
(b)
é sobrejetora?
é injetora? Calcule
.
(a) Mostre que
(b)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Aqui
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Precisamos (a) mostrar que
é linear e (b) decidir se é injetora e/ou sobrejetora, além de calcular
.
Passo 2
Para provar linearidade, tomemos
e
. Então
Pelo fato de
e
serem escalares, segue
Logo
Isto mostra que
é linear.
Passo 3
Vamos descrever
. Se
estiver em
, então
Dessas três equações, duas são independentes:
Como
, a segunda dá
, ou seja
. Logo
com
. Assim
é um subespaço gerado por um único polinômio, logo
.
Passo 4
O espaço
tem dimensão 3. Pela Teoria Fundamental das Transformações Lineares (rank–nullity),
Como
tem dimensão 2,
não é sobrejetora (um subespaço próprio de
). E como
,
não é injetora.