Sejam
e
duas transformações lineares não nulas tais que
. Mostre que existem vetores não nulos
tais que
.
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações lineares
; não nulas, com a propriedade
Queremos mostrar que
não é injetora, ou seja, que existem vetores não nulos
tais que
Para isso usaremos ideias de núcleo
e imagem
de transformações lineares.
Passo 2
Como
não é a transformação zero, existe algum vetor
com
Denote
Então
e, aplicando
, temos
Logo
pertence a
e é não nulo.
Passo 3
A linearidade de
garante que todo múltiplo escalar de
também está em
. Em particular, tome
Ambos são não nulos (pois
) e claramente
.
Passo 4
Verificamos que
Portanto
com
e ambos não nulos, como pedido.
Resposta
Basta escolher
e ,
onde satisfaz
.
Aí com
.
e
onde
Aí