Sejam T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} e S: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} duas transformações lineares não nulas tais que T \circ S=0. Mostre que existem vetores não nulos \vec{u} \neq \vec{v} tais que T(\vec{u})=T(\vec{v}).

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações lineares \;T,S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n; não nulas, com a propriedade
T\circ S = 0.
Queremos mostrar que T não é injetora, ou seja, que existem vetores não nulos \vec u\neq \vec v tais que
T(\vec u)=T(\vec v).
Para isso usaremos ideias de núcleo \ker e imagem \mathrm{Im} de transformações lineares.

Passo 2

Como S não é a transformação zero, existe algum vetor \vec w\in\mathbb{R}^n com
S(\vec w)\neq \vec 0.
Denote
\vec a = S(\vec w).
Então \vec a\neq\vec 0 e, aplicando T, temos
T(\vec a) = T\bigl(S(\vec w)\bigr) = (T\circ S)(\vec w) = \vec 0.
Logo \vec a pertence a \ker T e é não nulo.

Passo 3

A linearidade de T garante que todo múltiplo escalar de \vec a também está em \ker T. Em particular, tome
\vec u = \vec a \quad\text{e}\quad \vec v = 2\,\vec a.
Ambos são não nulos (pois \vec a\neq\vec 0) e claramente \vec u\neq \vec v.

Passo 4

Verificamos que
T(\vec u) = T(\vec a) = \vec 0, \qquad T(\vec v) = T(2\vec a) = 2\,T(\vec a) = 2\,\vec 0 = \vec 0.
Portanto
T(\vec u) = T(\vec v),
com \vec u\neq\vec v e ambos não nulos, como pedido.

Resposta

Basta escolher \displaystyle \vec u = S(\vec w)
e \displaystyle \vec v = 2\,S(\vec w),
onde \vec w satisfaz S(\vec w)\neq\vec 0.
T(\vec u)=T(\vec v)=\vec0 com \vec u\neq\vec v.

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