Determine quais das seguintes funções são lineares:
T: R^3 R^3
T(x, y, z)=(x-y, x+y, 0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x - y,; x + y,; 0)
é linear. Lembrando que uma aplicação é linear se e somente se satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,vinR^3 e escalar lambda:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(lambda u)=lambda,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
T(u+v)=l((x1+x2)-(y1+y2),;(x1+x2)+(y1+y2),;0r)
Reagrupando,
T(u+v)=l(x1-y1,;x1+y1,;0r)+l(x2-y2,;x2+y2,;0r) =T(u)+T(v)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para lambdainR e u=(x,y,z),
T(lambda u) = T(lambda x,;lambda y,;lambda z) = (lambda x - lambda y,;lambda x + lambda y,;0) = lambda,(x-y,;x+y,;0) = lambda,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A função T(x,y,z)=(x-y,;x+y,;0) é linear.

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