EM S7, QUAL A INVERSA DA PERMUTAÇÃO (421) o (7356) ?

Passo 1

O enunciado pede a inversa da permutação
(4,2,1)circ(7,3,5,6)
no grupo simétrico S7. O conteúdo aqui é teoria de permutações, ciclos, composição e inversa de permutações.

Passo 2

Sabemos que, para duas permutações alpha e beta,
(alphacircbeta)^-1 = beta^-1circalpha^-1
Além disso, a inversa de um ciclo
(a1,a2,dots,ak)
é obtida percorrendo-o ao contrário, isto é,
(a1,a2,dots,ak)^-1 = (a1,ak,dots,a2)

Passo 3

Aplicando essa regra a cada ciclo dado:
(4,2,1)^-1 = (4,1,2),
(7,3,5,6)^-1 = (7,6,5,3)

Passo 4

Então a inversa da composição é
l((4,2,1)circ(7,3,5,6)r)^-1 = (7,3,5,6)^-1circ(4,2,1)^-1 = (7,6,5,3)circ(4,1,2)
Como os ciclos (7,6,5,3) e (4,1,2) são disjuntos, podemos escrevê-los lado a lado:

Resposta

(4,1,2)(7,6,5,3)

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