Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
Z+ ;multiplicação

Passo 1

Beleza! O enunciado está perguntando se o conjunto dos números inteiros positivos, Z+, forma um grupo quando usamos a operação de multiplicação. Para resolver isso, vamos lembrar os quatro requisitos que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos.

Passo 2

Fechamento: Primeiro, precisamos ver se multiplicando dois números inteiros positivos sempre resulta em outro número inteiro positivo. Por exemplo, 2 times 3 = 6, que também está em Z+. Isso vale para qualquer par de números positivos, então o conjunto é fechado sob a multiplicação.

Passo 3

Associatividade: A multiplicação de números inteiros positivos é associativa. Isso significa que, para qualquer três números a, b e c em Z+, temos (a times b) times c = a times (b times c). Por exemplo, (2 times 3) times 4 = 6 times 4 = 24 e 2 times (3 times 4) = 2 times 12 = 24. Portanto, a operação é associativa.

Passo 4

Elemento Neutro: Um grupo precisa ter um elemento neutro que, quando multiplicado por qualquer elemento do grupo, não muda esse elemento. No caso da multiplicação, o número 1 funciona como elemento neutro porque 1 times a = a times 1 = a para qualquer a em Z+.

Passo 5

Inversos: Aqui é onde temos um problema. Para cada elemento a em Z+, precisamos de um inverso b tal que a times b = 1. Porém, na maioria dos casos, esse inverso não está em Z+. Por exemplo, o inverso de 2 seria 12, que não é um inteiro positivo. A única exceção é o número 1, que é seu próprio inverso.

Resposta

Portanto, Z+ com a operação de multiplicação não forma um grupo, porque nem todo elemento possui um inverso dentro do conjunto.

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