Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
multiplicação
Passo 1
Beleza! O enunciado está perguntando se o conjunto dos números inteiros positivos,
, forma um grupo quando usamos a operação de multiplicação. Para resolver isso, vamos lembrar os quatro requisitos que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos.
Passo 2
Fechamento: Primeiro, precisamos ver se multiplicando dois números inteiros positivos sempre resulta em outro número inteiro positivo. Por exemplo,
, que também está em
. Isso vale para qualquer par de números positivos, então o conjunto é fechado sob a multiplicação.
Passo 3
Associatividade: A multiplicação de números inteiros positivos é associativa. Isso significa que, para qualquer três números
,
e
em
, temos
. Por exemplo,
e
. Portanto, a operação é associativa.
Passo 4
Elemento Neutro: Um grupo precisa ter um elemento neutro que, quando multiplicado por qualquer elemento do grupo, não muda esse elemento. No caso da multiplicação, o número 1 funciona como elemento neutro porque
para qualquer
em
.
Passo 5
Inversos: Aqui é onde temos um problema. Para cada elemento
em
, precisamos de um inverso
tal que
. Porém, na maioria dos casos, esse inverso não está em
. Por exemplo, o inverso de 2 seria
, que não é um inteiro positivo. A única exceção é o número 1, que é seu próprio inverso.
Resposta
Portanto,
com a operação de multiplicação não forma um grupo, porque nem todo elemento possui um inverso dentro do conjunto.