No sistema polar, considere os seguintes pontos: e . Verifique se os pontos formam um triângulo. Caso afirmativo, determine a área do triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos no sistema polar: , e . Nosso objetivo é verificar se esses pontos formam um triângulo e, se formarem, calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar converter as coordenadas polares para cartesianas e, em seguida, usar a fórmula da área de um triângulo no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas polares para cartesianas. A fórmula para converter de coordenadas polares para cartesianas é:
Vamos aplicar isso para cada ponto.
Passo 3
Para o ponto :
Então, as coordenadas cartesianas de A são .
Passo 4
Para o ponto :
Então, as coordenadas cartesianas de B são .
Passo 5
Para o ponto :
Então, as coordenadas cartesianas de C são .
Passo 6
Agora, temos os três pontos no sistema cartesiano:
Para verificar se eles formam um triângulo, precisamos garantir que não estejam todos em uma mesma linha reta (ou seja, que não sejam colineares). Uma forma de verificar isso é calcular a área usando a fórmula do determinante. Se a área for diferente de zero, os pontos formam um triângulo.
Passo 7
A fórmula para a área de um triângulo com vértices em , , e é:
Vamos aplicar essa fórmula com nossos pontos A, B e C.
Passo 8
Substituindo os valores:
Simplificando:
Área = 12 | 0 + 0 + 2(-4) | = 12 | -8 | = 12 times 8 = 4 Á
Resposta
Sim, os pontos formam um triângulo e a área desse triângulo é 4 unidades quadradas.