No sistema polar, considere os seguintes pontos: A(2, -pi2), B(2, -3pi2) e C(4, -pi3). Verifique se os pontos formam um triângulo. Caso afirmativo, determine a área do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três pontos no sistema polar: A(2, -pi2) , B(2, -3pi2) e C(4, -pi3) . Nosso objetivo é verificar se esses pontos formam um triângulo e, se formarem, calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar converter as coordenadas polares para cartesianas e, em seguida, usar a fórmula da área de um triângulo no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas polares para cartesianas. A fórmula para converter de coordenadas polares (r, theta) para cartesianas (x, y) é:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)
Vamos aplicar isso para cada ponto.

Passo 3

Para o ponto A(2, -pi2) :
xA = 2 cdot cos(-pi2) = 2 cdot 0 = 0
yA = 2 cdot sin(-pi2) = 2 cdot (-1) = -2
Então, as coordenadas cartesianas de A são (0, -2) .

Passo 4

Para o ponto B(2, -3pi2) :
xB = 2 cdot cos(-3pi2) = 2 cdot 0 = 0
yB = 2 cdot sin(-3pi2) = 2 cdot 1 = 2
Então, as coordenadas cartesianas de B são (0, 2) .

Passo 5

Para o ponto C(4, -pi3) :
xC = 4 cdot cos(-pi3) = 4 cdot 12 = 2
yC = 4 cdot sin(-pi3) = 4 cdot (-raiz32) = -2raiz3
Então, as coordenadas cartesianas de C são (2, -2raiz3) .

Passo 6

Agora, temos os três pontos no sistema cartesiano:
  • A(0, -2)
  • B(0, 2)
  • C(2, -2raiz3)
Para verificar se eles formam um triângulo, precisamos garantir que não estejam todos em uma mesma linha reta (ou seja, que não sejam colineares). Uma forma de verificar isso é calcular a área usando a fórmula do determinante. Se a área for diferente de zero, os pontos formam um triângulo.

Passo 7

A fórmula para a área de um triângulo com vértices em (x1, y1) , (x2, y2) , e (x3, y3) é:
Área = 12 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | Á
Vamos aplicar essa fórmula com nossos pontos A, B e C.

Passo 8

Substituindo os valores:
Área = 12 | 0(2 - (-2raiz3)) + 0(-2raiz3 - (-2)) + 2(-2 - 2) | Á
Simplificando:
Área = 12 | 0 + 0 + 2(-4) | = 12 | -8 | = 12 times 8 = 4 Á

Resposta

Sim, os pontos formam um triângulo e a área desse triângulo é 4 unidades quadradas.

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