São conhecidas as coordenadas esféricas do ponto P do espaço. No sistema cartesiano tridimensional, qual é o sinal (positivo, negativo ou zero) de cada coordenada?

Passo 1

O enunciado diz que conhecemos as coordenadas esféricas de P, usualmente dadas por (rho,theta,phi), com rho>0, theta (azimute) em [0,2pi) e phi (colatitude) em [0,pi]. Queremos descobrir o sinal de cada coordenada cartesiana
x,y,z em função de theta e phi.

Passo 2

Lembrando as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas, temos
x=rho,sinphicostheta,
y=rho,sinphisintheta,
z=rho,cosphi
Como rho>0, o sinal de cada coordenada vem do sinal do fator trigonométrico correspondente.

Passo 3

Analisando :
– Se ou , então e .
– Se , então e
Logo
se ( ),
se ,
se .

Passo 4

Analisando :
– Se ou , então .
– Se , então e
Logo
se ( ),
se ,
se .

Passo 5

Analisando :
Portanto
para ,
para ,
para .

Resposta

  • x tem o mesmo sinal de costheta (zero se sinphi=0 ou costheta=0).
  • y tem o mesmo sinal de sintheta (zero se sinphi=0 ou sintheta=0).
  • z tem o mesmo sinal de cosphi (zero se phi=tfracpi2).

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