A partir da Relação de Ordem definida em Z, e da Imersão Algébrica de N em Z, mostre as conhecidas relações utilizadas no Ensino Fundamental para a multiplicação de inteiros:
a. (+) cdot(-)=(-);
b. $(-) \cdot(-)=(+).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a construção de Z a partir de N (como classes de pares de naturais), a imersão algébrica de N em Z e a relação de ordem em Z, que valem as regras de sinais na multiplicação de inteiros:
  1. (+)cdot(-)=(-)
  2. (-)cdot(-)=(+).

Passo 2

Recordando a construção de Z: cada inteiro é uma classe de equivalência [a,b] com a,binN. A soma e produto são dados por
[a,b]+[c,d]=[a+c,;b+d], [a,b]cdot[c,d]=[a,c+b,d,;a,d+b,c]
A imersão algébrica icolonNtoZ é
i(n)=[n,0],
e o inverso de i(n) (o inteiro -n) é [0,n].

Passo 3

Definimos a ordem em Z por
[a,b]>0Long<=ftrightarrow a>b, [a,b]<0Long<=ftrightarrow a<b,
e zero quando a=b.

Passo 4

Mostrando (+)cdot(-)=(-): seja n,m>0 em N. Então
i(n)=[n,0](positivo) e -,i(m)=[0,m](negativo)
Calculamos
[n,0]cdot[0,m] =[ncdot0+0cdot m,;ncdot m+0cdot0] =[0,;n,m]
Como n,m>0 temos 0<n,m e, portanto, [0,n,m]<0. Logo (+)cdot(-)=(-).

Passo 5

Mostrando (-)cdot(-)=(+): ainda com n,m>0,
[0,n]e[0,m]
são ambos negativos. Então
[0,n]cdot[0,m] =[0cdot0+ncdot m,;0cdot m+ncdot0] =[n,m,;0]
Como n,m>0 temos [n,m,0]>0. Logo (-)cdot(-)=(+).

Resposta

(a) (+)cdot(-)=(-)
(b) (-)cdot(-)=(+)

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