A partir da Relação de Ordem definida em
, e da Imersão Algébrica de
em
, mostre as conhecidas relações utilizadas no Ensino Fundamental para a multiplicação de inteiros:
a.
;
b. $(-) \cdot(-)=(+).
a.
b. $(-) \cdot(-)=(+).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a construção de
a partir de
(como classes de pares de naturais), a imersão algébrica de
em
e a relação de ordem em
, que valem as regras de sinais na multiplicação de inteiros:
-
-
.
Passo 2
Recordando a construção de
: cada inteiro é uma classe de equivalência
com
. A soma e produto são dados por
A imersão algébrica
é
e o inverso de
(o inteiro
) é
.
Passo 3
Definimos a ordem em
por
e zero quando
.
Passo 4
Mostrando
: seja
em
. Então
Calculamos
Como
temos
e, portanto,
. Logo
.
Passo 5
Mostrando
: ainda com
,
são ambos negativos. Então
Como
temos
. Logo
.
Resposta
(a)
(b)
(b)