Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
Obs.: As operações, no caso, são adição e multiplicação usuais, restritas a cada um dos conjuntos dados.
Z-; adição

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto Z- (conjunto dos inteiros estritamente negativos) com a operação de adição usual forma um grupo. Para isso, vamos verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Fechamento: dados a,binZ-, ambos negativos, a soma a+b também é um número negativo, logo a+binZ-. O fechamento sob adição está satisfeito.

Passo 3

Associatividade: como a adição é associativa em Z, para quaisquer a,b,cinZ- vale
(a+b)+c = a+(b+c)
Portanto a associatividade também é satisfeita.

Passo 4

Elemento neutro: o neutro para a adição em Z é 0. Porém 0notinZ-, pois Z- contém apenas inteiros negativos. Não existe, dentro de Z-, elemento e tal que a+e=a para todo ainZ-.

Passo 5

Inversos: mesmo que negligenciássemos a falha do neutro, para ainZ- o inverso aditivo seria -a, que é positivo, e portanto -anotinZ-. Logo a condição de existência de inversos falha também.

Resposta

O conjunto Z- com a adição usual não é um grupo, pois não contém o elemento neutro nem os inversos aditivos dos seus elementos.

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