Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
Obs.: As operações, no caso, são adição e multiplicação usuais, restritas a cada um dos conjuntos dados.
; adição
Obs.: As operações, no caso, são adição e multiplicação usuais, restritas a cada um dos conjuntos dados.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
(conjunto dos inteiros estritamente negativos) com a operação de adição usual forma um grupo. Para isso, vamos verificar os quatro axiomas de grupo: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Fechamento: dados
, ambos negativos, a soma
também é um número negativo, logo
. O fechamento sob adição está satisfeito.
Passo 3
Associatividade: como a adição é associativa em
, para quaisquer
vale
Portanto a associatividade também é satisfeita.
Passo 4
Elemento neutro: o neutro para a adição em
é
. Porém
, pois
contém apenas inteiros negativos. Não existe, dentro de
, elemento
tal que
para todo
.
Passo 5
Inversos: mesmo que negligenciássemos a falha do neutro, para
o inverso aditivo seria
, que é positivo, e portanto
. Logo a condição de existência de inversos falha também.
Resposta
O conjunto
com a adição usual não é um grupo, pois não contém o elemento neutro nem os inversos aditivos dos seus elementos.