Determine o subespaço de P2(t, R) gerado pelos vetores v1=t+1 e v2=t^2

Passo 1

O enunciado pede para achar o subespaço de P2(t,R) gerado pelos vetores
v1(t)=t+1
e
v2(t)=t^2
O conteúdo envolve combinação linear em espaços de polinômios e descrição de subespaços.

Passo 2

Qualquer polinômio p(t) no subespaço gerado por v1 e v2 pode ser escrito como combinação linear
p(t)=lambda,v1(t)+mu,v2(t),
com lambda,muinR.

Passo 3

Substituindo v1 e v2 obtemos
p(t)=lambda,(t+1)+mu,t^2 =mu,t^2+lambda,t+lambda
Portanto, todos os polinômios desse subespaço têm forma
p(t)=a,t^2+b,t+b,
onde a=mu e b=lambda variam livremente em R. Note que nesse conjunto o coeficiente de t é igual ao termo constante.

Passo 4

Em outras palavras, o subespaço é
,a,t^2+b,t+b mid a,binR
e uma base natural para ele é ,t^2,,t+1. A dimensão desse subespaço é 2.

Resposta

span,t+1,;t^2 =,a,t^2+b,t+b mid a,binR

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