Q[raiz2]-0 é um subgrupo multiplicativo de (R^*, cdot) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se
Q[raiz2]setminus0, onde
Q[raiz2]=a+braiz2mid a,binQ,
é um subgrupo de (R^*,cdot).
Para isso vamos verificar três propriedades de subgrupo multiplicativo:
a existência da identidade, o fechamento para o produto e o fechamento para inversos.

Passo 2

Identidade multiplicativa:
O número
,1=1+0raiz2
está em Q[raiz2] e é diferente de zero. Logo a identidade de R^* pertence ao conjunto.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação:
Tomemos
x=a+braiz2, y=c+draiz2
com a,b,c,dinQ. Então
xy=(a+braiz2)(c+draiz2) =(ac+2bd)+(ad+bc)raiz2
Como ac+2bd e ad+bc são quocientes de inteiros, temos
xyinQ[raiz2]
Além disso xyneq0 sempre que xneq0 e yneq0.

Passo 4

Fechamento sob inversos:
Seja x=a+braiz2neq0. Definimos o “norma”
N(x)=a^2-2b^2inQ
Se N(x)=0, então a^2=2b^2 e raiz2=a/binQ, contradição. Logo N(x)neq0 e
x^-1=1a+braiz2 =a-braiz2(a+braiz2)(a-braiz2) =a-braiz2a^2-2b^2inQ[raiz2]
Isso mostra que todo elemento não-nulo tem inverso no conjunto.

Resposta

Sim. Q[raiz2]setminus0 é subgrupo multiplicativo de (R^*,cdot) porque contém 1, é fechado sob produto e todo elemento não-zero tem inverso em Q[raiz2].

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