é um subgrupo multiplicativo de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se
, onde
,
é um subgrupo de .
Para isso vamos verificar três propriedades de subgrupo multiplicativo:
a existência da identidade, o fechamento para o produto e o fechamento para inversos.
é um subgrupo de
Para isso vamos verificar três propriedades de subgrupo multiplicativo:
a existência da identidade, o fechamento para o produto e o fechamento para inversos.
Passo 2
Identidade multiplicativa:
O número
está em e é diferente de zero. Logo a identidade de
pertence ao conjunto.
O número
está em
Passo 3
Fechamento sob multiplicação:
Tomemos
Tomemos
com
. Então
Como
e
são quocientes de inteiros, temos
Além disso
sempre que
e
.
Passo 4
Fechamento sob inversos:
Seja . Definimos o “norma”
Seja
Se
, então
e
, contradição. Logo
e
Isso mostra que todo elemento não-nulo tem inverso no conjunto.
Resposta
Sim.
é subgrupo multiplicativo de
porque contém
, é fechado sob produto e todo elemento não-zero tem inverso em
.