Seja
um grupo aditivo e
um grupo multiplicativo.
Prove que
, em que a operação é definida por
, é um grupo;
Prove que
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo abeliano com operação aditiva “
” e elemento neutro
, e que
é um grupo com operação multiplicativa e elemento neutro
. Definimos em
a operação
Para mostrar que
é um grupo, precisamos verificar (i) fechamento, (ii) associatividade, (iii) existência de elemento neutro e (iv) existência de inversos.
Passo 2
(Fechamento) Seja
. Então
e
. Como
é fechado em relação a “
”, temos
. E como
é fechado em relação a multiplicação, temos
. Logo
ou seja,
envia pares de
em
.
Passo 3
(Associatividade) Tome
. Então
e
Como em
a soma é associativa
e em
a multiplicação é associativa
, as duas expressões coincidem. Logo
é associativa.
Passo 4
(Elemento neutro) Seja
o neutro de
e
o neutro de
. Para todo
temos
Portanto
é o elemento neutro de
.
Passo 5
(Inversos) Dado
, em
o inverso de
é
e em
o inverso de
é
. Considere
Então
e
ou seja,
é inverso de
.
Resposta
Verificamos fechamento, associatividade, neutro e inversos, logo
é um grupo.