Seja G um grupo aditivo e H um grupo multiplicativo.
Prove que (G times H, otimes), em que a operação é definida por (a, b) otimes(c, d)=(a+c, b d), é um grupo;

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo abeliano com operação aditiva “ +” e elemento neutro 0G, e que H é um grupo com operação multiplicativa e elemento neutro 1H. Definimos em Gtimes H a operação
(a,b)otimes(c,d) = (a+c,;b,d)
Para mostrar que l(Gtimes H,otimesr) é um grupo, precisamos verificar (i) fechamento, (ii) associatividade, (iii) existência de elemento neutro e (iv) existência de inversos.

Passo 2

(Fechamento) Seja (a,b),(c,d)in Gtimes H. Então a,cin G e b,din H. Como G é fechado em relação a “ +”, temos a+cin G. E como H é fechado em relação a multiplicação, temos b,din H. Logo
(a,b)otimes(c,d) = (a+c,;b,d)in Gtimes H,
ou seja, otimes envia pares de Gtimes H em Gtimes H.

Passo 3

(Associatividade) Tome (a,b),(c,d),(e,f)in Gtimes H. Então
((a,b)otimes(c,d))otimes(e,f) = (,a+c,;b,d)otimes(e,f) = l((a+c)+e,;(b,d),fr)
e
(a,b)otimesl((c,d)otimes(e,f)r) = (a,b)otimes(c+e,;d,f) = l(a+(c+e),;b,(d,f)r)
Como em G a soma é associativa l((a+c)+e = a+(c+e)r) e em H a multiplicação é associativa l((b,d),f = b,(d,f)r), as duas expressões coincidem. Logo otimes é associativa.

Passo 4

(Elemento neutro) Seja 0G o neutro de G e 1H o neutro de H. Para todo (a,b)in Gtimes H temos
(0G,1H)otimes(a,b) = (0G + a,;1H,b) = (a,b) e (a,b)otimes(0G,1H) = (a+0G,;b,1H) = (a,b)
Portanto (0G,1H) é o elemento neutro de otimes.

Passo 5

(Inversos) Dado (a,b)in Gtimes H, em G o inverso de a é -a e em H o inverso de b é b^-1. Considere
(a,b)^-1 ;=; (-a,;b^-1)
Então
(a,b)otimes(-a,b^-1) = l(a+(-a),;b,b^-1r) = (0G,1H)
e
(-a,b^-1)otimes(a,b) = l((-a)+a,;b^-1br) = (0G,1H),
ou seja, (-a,b^-1) é inverso de (a,b).

Resposta

Verificamos fechamento, associatividade, neutro e inversos, logo l(Gtimes H,otimesr) é um grupo.

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