Quais dos conjuntos abaixo são L.I.?
а) \left.\left\{(1,2,1,3)^{t},(2,-1,1,2)^{t},(1,4,1,3)^{t}\right)\right\};
b) \left\{(1,2,1,3)^{t},(2,-1,1,2)^{t},(1,4,1,3)^{t},(1,0,0,0)^{t}\right\};
c) \left\{(1,2,1,3)^{t},(2,-1,1,2)^{t},(1,4,1,3)^{t},(1,0,0,0)^{t},(0,0,0,1)^{t}\right\}
d) \left\{(1,2,1)^{t},(2,-1,1)^{t},(1,-3,0)^{t}\right\}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se cada um dos conjuntos de vetores dados é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). As coleções são:
a) \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}\right\}
b) \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\}
c) \left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\}
Informações relevantes: são vetores em \mathbb{R}^{4} nos itens (a),(b),(c) e em \mathbb{R}^{3} no item (d). A questão é verificar independência linear de cada conjunto.]
Passo 2
Definição e método que vamos usar (aula rápida e prática): vetores v_1,\dots,v_k são linearmente independentes se a única solução da combinação linear homogênea
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\dots+\alpha_k v_k=0
é \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0. Na prática, montamos a matriz cujas colunas são os vetores e resolvemos o sistema homogêneo por eliminação de Gauss (redução por linhas). Se o número de pivôs (posto da matriz) for igual ao número de colunas, então só há solução trivial e os vetores são L.I.; se o posto for menor que o número de colunas há variáveis livres, portanto existe solução não trivial e os vetores são L.D.
Rápida explicação das operações de linha: podemos somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas e multiplicar uma linha por escalar não nulo; essas operações preservam o espaço de soluções do sistema homogêneo. Nosso objetivo é obter linhas com muitos zeros para identificar pivôs e o posto.
Agora vamos aplicar esse método passo a passo em cada item.
Passo 3
Item (a). Montamos a matriz A cujas colunas são os três vetores:
Observamos que há uma linha com entrada não nula na terceira coluna (por exemplo L_3 tem -\tfrac{2}{5}), então existe pivô também na coluna 3. Eliminando L_4 usando L_3 dá linha zero, mas já temos pivôs nas três colunas.
Conclusão: o posto da matriz é 3 (há três pivôs) e como o número de colunas também é 3, as colunas são linearmente independentes. Portanto o conjunto (a) é L.I.]
Passo 4
Item (b). Matriz com as quatro colunas (os três vetores anteriores e \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}):
Agora L_3 tem entrada não nula em coluna 3 (-\tfrac{2}{5}), então há pivô na coluna 3. Eliminando L_4 com L_3 resulta em uma linha com entrada não nula na coluna 4 (especificamente, ao eliminar aparece uma linha que reduz a coluna 4 a 1 após combinações — vimos na eliminação que surge um vetor (0,0,0,1) em algum passo), o que significa que também teremos pivô na coluna 4. Explicitamente, ao eliminar L_4\leftarrow L_4-4L_3 obtemos (0,0,0,1), mostrando pivô na 4ª coluna.
Conclusão: existem pivôs nas quatro colunas, o posto é 4 e como o número de colunas é 4, as colunas são linearmente independentes. Portanto o conjunto (b) é L.I.]
Passo 5
Item (c). Observação teórica curta e poderosa: estamos em \mathbb{R}^{4}, logo qualquer conjunto de mais de 4 vetores é necessariamente linearmente dependente porque o posto máximo de uma matriz 4\times k é 4. Aqui temos 5 vetores em \mathbb{R}^{4}, então não podem ser todos independentes — existe sempre uma combinação linear não trivial que zera.
Conclusão: o conjunto (c) é L.D.
Passo 6
Item (d). Montamos a matriz C cujas colunas são os três vetores em \mathbb{R}^{3}:
Duas abordagens possíveis: (i) calcular o determinante; se for não nulo, as colunas são L.I.; (ii) fazer eliminação e procurar uma combinação não trivial. Vou mostrar eliminação e achar explicitamente a relação de dependência se existir.
Das equações reduzidas temos (da segunda linha): -5y-5z=0\Rightarrow y=-z.
Da primeira linha: x+2y+z=0. Substituindo y=-z dá x+2(-z)+z=0\Rightarrow x-z=0\Rightarrow x=z.
Tomando z=t (parâmetro), obtemos (x,y,z)=(t,-t,t)=t(1,-1,1). Logo existe uma combinação não trivial: