Quais dos conjuntos abaixo são linearmente dependentes e quais são linearmente independentes:
A=(2+x-x^2),(-4-x+4 x^2),(x+2 x^2);

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de polinômios do espaço P2:
A = ,2 + x - x^2,;-4 - x + 4x^2,;x + 2x^2
e pede para verificarmos se ele é linearmente dependente ou independente. Vamos usar definição de combinação linear e resolver o sistema para os coeficientes.

Passo 2

Suponha que exista alpha,beta,gamma tais que
alpha,(2 + x - x^2);+;beta,(-4 - x + 4x^2);+;gamma,(x + 2x^2);=;0
onde 0 é o polinômio nulo em P2.

Passo 3

Expandindo e somando termos semelhantes temos coeficientes para cada potência de x:
coeficiente de x^2: -alpha + 4beta + 2gamma = 0
coeficiente de x: alpha - beta + gamma = 0
coeficiente constante: 2alpha - 4beta + 0cdotgamma = 0

Passo 4

Escrevendo o sistema em
Da terceira equação vem ). Como podemos escolher e ainda satisfazer, existem soluções não triviais.

Passo 5

Encontramos (alpha,beta,gamma)=(2,1,-1) por exemplo, diferente de (0,0,0). Logo há combinação linear não trivial que zera os polinômios, ou seja, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto A é linearmente dependente.

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