Quais dos conjuntos abaixo são linearmente dependentes e quais são linearmente independentes:
;
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de polinômios do espaço
:
e pede para verificarmos se ele é linearmente dependente ou independente. Vamos usar definição de combinação linear e resolver o sistema para os coeficientes.
Passo 2
Suponha que exista
tais que
onde
é o polinômio nulo em
.
Passo 3
Expandindo e somando termos semelhantes temos coeficientes para cada potência de
:
coeficiente de :
coeficiente de :
coeficiente constante:
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente constante:
Passo 4
Escrevendo o sistema em
Da terceira equação vem ). Como podemos escolher
e ainda satisfazer, existem soluções não triviais.
Passo 5
Encontramos
por exemplo, diferente de
. Logo há combinação linear não trivial que zera os polinômios, ou seja, o conjunto é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.