Quais dos conjuntos abaixo são linearmente dependentes e quais são linearmente independentes: ;
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de polinômios em
e pede para verificar se esses vetores são linearmente dependentes ou independentes. Para isso, vamos usar a definição: é linearmente independente se, sempre que
como polinômio, então .
Passo 2
Escrever a combinação linear e agrupar termos semelhantes:
Como isso deve ser o polinômio zero, cada coeficiente deve valer zero.
Passo 3
Formamos o sistema obtido pelos coeficientes:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação vem alpha=0.
Substituindo na segunda, -0 + beta=0 dá beta=0.
Substituindo alpha=0 e beta=0 na terceira, 0-0+gamma=0 dá gamma=0.
Só existe a solução trivial alpha=beta=gamma=0, logo B é linearmente independente.