Quais dos conjuntos abaixo são linearmente dependentes e quais são linearmente independentes:
B=(1-x+2 x^2),(x-x^2),(x^2);

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de polinômios em P2
B = ;1 - x + 2x^2,;x - x^2,;x^2
e pede para verificar se esses vetores são linearmente dependentes ou independentes. Para isso, vamos usar a definição: B é linearmente independente se, sempre que
alpha(1 - x + 2x^2) + beta(x - x^2) + gamma,x^2 = 0
como polinômio, então alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrever a combinação linear e agrupar termos semelhantes:
alpha(1 - x + 2x^2) + beta(x - x^2) + gamma,x^2 = l(alphar) + l(-alpha + betar)x + l(2alpha - beta + gammar)x^2
Como isso deve ser o polinômio zero, cada coeficiente deve valer zero.

Passo 3

Formamos o sistema obtido pelos coeficientes:
alpha = 0, -alpha + beta = 0, 2alpha - beta + gamma = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação vem alpha=0.
  • Substituindo na segunda, -0 + beta=0 beta=0.
  • Substituindo alpha=0 e beta=0 na terceira, 0-0+gamma=0 gamma=0.
Só existe a solução trivial alpha=beta=gamma=0, logo B é linearmente independente.

Resposta

O conjunto B é linearmente independente.

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