Quais dos conjuntos abaixo são linearmente dependentes e quais são linearmente independentes: ;
Passo 1
O conjunto
é um subconjunto de , o espaço dos polinômios de grau . Para decidir se é linearmente independente ou não, vamos usar o fato de que : em um espaço de dimensão , qualquer coleção com mais de vetores é necessariamente linearmente dependente.
Passo 2
Como tem polinômios e , segue do teorema básico de espaços vetoriais que é automaticamente linearmente dependente. Mas vamos confirmar encontrando uma combinação linear não trivial que dê o polinômio zero.
Passo 3
Procuramos escalares , não todos nulos, tais que
Igualando coeficientes de , e , obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo esse sistema com 4 incógnitas, encontramos, por exemplo, a solução
a=-10, b=23, c=14, d=25,
o que dá a relação não trivial
-10,(1+3x+x^2)+23,(2 - x - x^2)+14,(1+2x-3x^2)+25,(-2+x+3x^2)=0