Quais dos conjuntos abaixo são linearmente dependentes e quais são linearmente independentes:
C=(1+3 x+x^2),(2-x-x^2),(1+2 x-3 x^2),(-2+x+3 x^2);

Passo 1

O conjunto
C = ,1+3x+x^2,;2 - x - x^2,;1 + 2x - 3x^2,;-2 + x + 3x^2
é um subconjunto de P2, o espaço dos polinômios de grau <=2. Para decidir se C é linearmente independente ou não, vamos usar o fato de que dim(P2)=3: em um espaço de dimensão 3, qualquer coleção com mais de 3 vetores é necessariamente linearmente dependente.

Passo 2

Como C tem 4 polinômios e dim(P2)=3, segue do teorema básico de espaços vetoriais que C é automaticamente linearmente dependente. Mas vamos confirmar encontrando uma combinação linear não trivial que dê o polinômio zero.

Passo 3

Procuramos escalares a,b,c,d, não todos nulos, tais que
a(1+3x+x^2)+b(2 - x - x^2)+c(1+2x-3x^2)+d(-2+x+3x^2);=;0
Igualando coeficientes de 1, x e x^2, obtemos o sistema
a + 2b + c - 2d = 0, 3a - b + 2c + d = 0, a - b - 3c + 3d = 0

Passo 4

Resolvendo esse sistema com 4 incógnitas, encontramos, por exemplo, a solução
a=-10, b=23, c=14, d=25,
o que dá a relação não trivial
-10,(1+3x+x^2)+23,(2 - x - x^2)+14,(1+2x-3x^2)+25,(-2+x+3x^2)=0

Resposta

O conjunto C é linearmente dependente.

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