Questão-10. Considere o plano pi: x+y-z=0. Encontre
a) Uma base ortonormal do R^3 que contenha um vetor unitário e ortogonal ao plano pi
b) A projeção ortogonal do vetor v=(4,3,2) sobre o plano pi

Passo 1

Resumo: Temos o plano pi: x+y-z=0. Queremos (a) construir uma base ortonormal de R^3 que contenha um vetor unitário e ortogonal a pi, e (b) calcular a projeção ortogonal de v=(4,3,2) sobre pi. Conteúdo envolvido: vetores normais, Ortogonalização de Gram–Schmidt e projeção ortogonal.

Passo 2

O vetor normal ao plano é dado por seus coeficientes na equação, ou seja (1,1,-1). Para obter um vetor unitário ortogonal a pi basta normalizá-lo. O comprimento de (1,1,-1) é raiz1^2+1^2+(-1)^2=raiz3, logo o vetor normal unitário é
n=(1,1,-1)raiz3

Passo 3

Agora precisamos de dois vetores ortonormais que morem em pi. Escolhemos inicialmente e1=(1,-1,0), que satisfaz 1+(-1)-0=0. Normalizando, obtemos
u1=(1,-1,0)raiz2

Passo 4

Para achar o segundo vetor no plano e ortogonal a u1 e a n, usamos o produto vetorial
e2=ntimes u1=(1,1,-1)raiz3times(1,-1,0)raiz2 =(-1,-1,-2)raiz6
Assim, uma base ortonormal de R^3 que contém o vetor normal a pi é
l(1,1,-1)raiz3,;(1,-1,0)raiz2,;(-1,-1,-2)raiz6r

Passo 5

Para projetar v=(4,3,2) ortogonalmente em pi, subtraímos de v sua projeção na direção normal:
projpi(v)=v-(vcdot n),n
Calculando vcdot n=(4,3,2)cdot(1,1,-1)raiz3=4+3-2raiz3=5raiz3. Logo
projpi(v)=(4,3,2)-5raiz3,n=(4,3,2)-53(1,1,-1)
Fazendo as contas componentes a componentes,
projpi(v)=l(4-tfrac53,;3-tfrac53,;2+tfrac53r)=l(tfrac73,tfrac43,tfrac113r)

Passo 6

Pronto! A base ortonormal com vetor normal e a projeção de v em pi estão encontradas.

Resposta

(a) Uma base ortonormal é tfrac(1,1,-1)raiz3,;tfrac(1,-1,0)raiz2,;tfrac(-1,-1,-2)raiz6. (b) A projeção de v=(4,3,2) sobre pi é (tfrac73,tfrac43,tfrac113).

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