Questão-10. Considere o plano
. Encontre
a) Uma base ortonormal do
que contenha um vetor unitário e ortogonal ao plano
b) A projeção ortogonal do vetor
sobre o plano
a) Uma base ortonormal do
b) A projeção ortogonal do vetor
Passo 1
Resumo: Temos o plano
. Queremos (a) construir uma base ortonormal de
que contenha um vetor unitário e ortogonal a
, e (b) calcular a projeção ortogonal de
sobre
. Conteúdo envolvido: vetores normais, Ortogonalização de Gram–Schmidt e projeção ortogonal.
Passo 2
O vetor normal ao plano é dado por seus coeficientes na equação, ou seja
. Para obter um vetor unitário ortogonal a
basta normalizá-lo. O comprimento de
é
, logo o vetor normal unitário é
Passo 3
Agora precisamos de dois vetores ortonormais que morem em
. Escolhemos inicialmente
, que satisfaz
. Normalizando, obtemos
Passo 4
Para achar o segundo vetor no plano e ortogonal a
e a
, usamos o produto vetorial
Assim, uma base ortonormal de
que contém o vetor normal a
é
Passo 5
Para projetar
ortogonalmente em
, subtraímos de
sua projeção na direção normal:
Calculando
. Logo
Fazendo as contas componentes a componentes,
Passo 6
Pronto! A base ortonormal com vetor normal e a projeção de
em
estão encontradas.
Resposta
(a) Uma base ortonormal é
. (b) A projeção de
sobre
é
.