Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar montar uma matriz com os vetores dados e analisar se existe uma combinação linear entre eles que resulte no vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Os vetores são:
Então, a matriz fica assim:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma análise para ver se algum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que queremos verificar se existe constantes c1 v1 + c2 v2 = v3 e -1c1 + 0c2 = -2 0c1 + 1c2 = 3 2c1 + 0c2 = 4 0c1 - 2c2 = -6 1c1 + 1c2 = 5 tais que:
Vamos montar as equações:
Passo 4
Resolvendo as equações:
Da segunda equação:
Da terceira equação: ⇒
Vamos verificar se esses valores satisfazem as outras equações:
Primeira equação: ⇒ ✔️
Quarta equação: ⇒ ✔️
Quinta equação: ⇒ ✔️
Tudo confere!
Resposta
O conjunto é linearmente dependente porque o terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos dois primeiros vetores, ou seja, .