Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(a) S=(-1,0,2,0,1),(0,1,0,-2,1),(-2,3,4,-6,5), V=R^5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar montar uma matriz com os vetores dados e analisar se existe uma combinação linear entre eles que resulte no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Os vetores são:
v1 &= (-1, 0, 2, 0, 1) v2 &= (0, 1, 0, -2, 1) v3 &= (-2, 3, 4, -6, 5)
Então, a matriz fica assim:
A = -1 & 0 & 2 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -2 & 1 -2 & 3 & 4 & -6 & 5

Passo 3

Agora, vamos fazer uma análise para ver se algum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que queremos verificar se existe constantes c1 v1 + c2 v2 = v3 e -1c1 + 0c2 = -2 0c1 + 1c2 = 3 2c1 + 0c2 = 4 0c1 - 2c2 = -6 1c1 + 1c2 = 5 tais que:
Vamos montar as equações:

Passo 4

Resolvendo as equações:
  1. Da segunda equação:
  2. Da terceira equação:
Vamos verificar se esses valores satisfazem as outras equações:
  • Primeira equação: ✔️
  • Quarta equação: ✔️
  • Quinta equação: ✔️
Tudo confere!

Resposta

O conjunto é linearmente dependente porque o terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos dois primeiros vetores, ou seja, .

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