Expresse o vetor (1,-3,10) in R^3 como combinação linear dos vetores u=(1,0,0), v=(1,1,0) e w=(2,-3,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar o vetor (1, -3, 10) = a cdot (1, 0, 0) + b cdot (1, 1, 0) + c cdot (2, -3, 5) como uma combinação linear dos vetores , e . Isso significa que vamos encontrar coeficientes , e tais que:
Vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para descobrir esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a combinação linear. Multiplicando cada vetor pelos seus respectivos coeficientes, temos:
a cdot (1, 0, 0) = (a, 0, 0)
b cdot (1, 1, 0) = (b, b, 0)
c cdot (2, -3, 5) = (2c, -3c, 5c)
Somando essas três partes, obtemos:
(a + b + 2c, 0 + b - 3c, 0 + 0 + 5c) = (1, -3, 10)

Passo 3

Agora, vamos igualar cada componente correspondente dos vetores. Isso nos dá um sistema de três equações:
  1.  (Componente x)
  2.    (Componente y)
  3.         (Componente z)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Começando pela terceira equação, que é mais simples:
5c = 10
Para encontrar c = 105 = 2 , dividimos ambos os lados por 5:

Passo 5

Agora que já sabemos que b - 3(2) = -3 b - 6 = -3 , vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar b = -3 + 6 b = 3 :
Para isolar , somamos 6 em ambos os lados:

Passo 6

Com os valores de a + 3 + 2(2) = 1 a + 3 + 4 = 1 e a + 7 = 1 , vamos substituir esses na primeira equação para encontrar a = 1 - 7 a = -6 :
Somamos os números:
Isolando :

Resposta

Então, os coeficientes são (1, -3, 10) = -6 cdot (1, 0, 0) + 3 cdot (1, 1, 0) + 2 cdot (2, -3, 5) , e . Portanto, o vetor pode ser expresso como:

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