Considere partículas de carga +q C colocadas e mantidas fixas nos pontos (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1). Coloca-se então uma carga de -1 C em P(x, y, z). Se v=OP, mostre que a força resultante F na partícula carregada negativamente é dada por :
F=k q(i-v|i-v|^3+j-v|j-v|^3+k-v|k-v|^3)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. Temos três partículas com carga positiva F = k q ( i - v|i - v|^3 + j - v|j - v|^3 + k - v|k - v|^3 ) fixadas nos pontos , e . A gente coloca uma carga de C no ponto . O objetivo é mostrar que a força resultante na carga negativa é dada por:
Aqui, é o vetor posição do ponto . Vamos precisar usar a Lei de Coulomb para calcular a força entre cargas elétricas e entender vetores e normas (módulos) de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz a força entre duas cargas elétricas. A força F = k q1 q2|r|^3 r entre duas cargas e separadas por um vetor é dada por:
Onde:
  • é a constante de Coulomb ( ²²)
  • é o vetor que vai de até
  • é o módulo (ou norma) do vetor

Passo 3

No nosso caso, temos três cargas positivas e uma carga negativa C. A força total na carga negativa será a soma das forças exercidas por cada uma das três cargas positivas.
Vamos chamar as posições das cargas positivas de , e , e a posição da carga negativa de .

Passo 4

Vamos calcular a força exercida pela primeira carga positiva em v - r1 = (x - 1, y - 0, z - 0) = (x - 1, y, z) sobre a carga negativa. O vetor que vai de F1 = k (+q)(-1)|v - r1|^3 (v - r1) = -k q v - r1|v - r1|^3 até é:
Aplicando a Lei de Coulomb:
O sinal negativo indica que a força é atrativa (porque uma carga é positiva e a outra é negativa).

Passo 5

Repetimos o mesmo processo para as outras duas cargas positivas:
Para v - r2 = (x - 0, y - 1, z - 0) = (x, y - 1, z) :
F2 = -k q v - r2|v - r2|^3
v - r3 = (x - 0, y - 0, z - 1) = (x, y, z - 1)
Para F3 = -k q v - r3|v - r3|^3 :

Passo 6

Agora, somamos as três forças para obter a força resultante F = F1 + F2 + F3 = -k q ( v - r1|v - r1|^3 + v - r2|v - r2|^3 + v - r3|v - r3|^3 ) :

Passo 7

Vamos reorganizar a expressão para ficar mais próxima do que queremos demonstrar. Note que F = -k q ( v - i|v - i|^3 + v - j|v - j|^3 + v - k|v - k|^3 ) , F = k q ( i - v|i - v|^3 + j - v|j - v|^3 + k - v|k - v|^3 ) e . Então:
Agora, multiplicamos e dividimos por :

Resposta

A força resultante na partícula carregada negativamente é dada por:
F = k q ( i - v|i - v|^3 + j - v|j - v|^3 + k - v|k - v|^3 )

Exercícios relacionados