Seja S o subespaço vetorial de P2 gerado pelos vetores t, 1-t e 4+t^2. O vetor p(t)= 3+4 t+10 t^2 pertence a S ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta fala sobre um subespaço vetorial de (que são polinômios de grau até 2) gerado pelos vetores , e . Queremos saber se o polinômio está dentro desse subespaço . Para resolver isso, vamos usar combinações lineares desses vetores e ver se conseguimos representar dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que significa a cdot t + b cdot (1 - t) + c cdot (4 + t^2) = 3 + 4t + 10t^2 estar em . Isso quer dizer que existem constantes , e tais que:
Aqui, estamos combinando linearmente os vetores que geram .

Passo 3

Agora, vamos expandir a equação:
a t + b (1 - t) + c (4 + t^2) = a t + b - b t + 4c + c t^2
Juntando os termos semelhantes:
(a - b) t + b + 4c + c t^2 = 3 + 4t + 10t^2

Passo 4

Para que os dois lados sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
a - b = 4 (coeficiente de t) b + 4c = 3 (termo constante) c = 10 (coeficiente de t^2)

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Começando pela terceira equação:
c = 10
Substituindo b + 4 cdot 10 = 3 b + 40 = 3 b = 3 - 40 b = -37 na segunda equação:
a - (-37) = 4 a + 37 = 4 a = 4 - 37 a = -33
Agora, substituindo na primeira equação:

Resposta

Sim, o polinômio pertence ao subespaço , pois existem constantes , e que satisfazem a combinação linear .

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