Seja o subespaço vetorial de gerado pelos vetores e . O vetor pertence a ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta fala sobre um subespaço vetorial de (que são polinômios de grau até 2) gerado pelos vetores , e . Queremos saber se o polinômio está dentro desse subespaço . Para resolver isso, vamos usar combinações lineares desses vetores e ver se conseguimos representar dessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que significa estar em . Isso quer dizer que existem constantes , e tais que:
Aqui, estamos combinando linearmente os vetores que geram .
Passo 3
Agora, vamos expandir a equação:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Para que os dois lados sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Começando pela terceira equação:
c = 10
Substituindo b + 4 cdot 10 = 3 b + 40 = 3 b = 3 - 40 b = -37 na segunda equação:
a - (-37) = 4 a + 37 = 4 a = 4 - 37 a = -33
Agora, substituindo na primeira equação:
Resposta
Sim, o polinômio pertence ao subespaço , pois existem constantes , e que satisfazem a combinação linear .