Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é descobrir se o conjunto
é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço vetorial
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e como verificar a independência linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto. Caso contrário, ou seja, se algum vetor puder ser expresso como uma combinação linear dos demais, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
No caso do nosso conjunto
, temos dois vetores no plano
. Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, queremos saber se existem escalares
e
tais que:
Passo 4
Vamos escrever isso em termos de componentes:
Isso nos dá um sistema de equações lineares:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
. Da primeira equação, podemos isolar
:
Substituindo esse valor na segunda equação:
Então, substituindo
na equação
:
Passo 6
Encontramos que a única solução para o sistema é
e
. Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.