Seja S=u, v, w um conjunto L.I. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
(a) S1=u, u+v, u+v+w.

Passo 1

Beleza, temos que o conjunto é linearmente independente em . Nosso objetivo aqui é verificar se o conjunto também é linearmente independente ou não. Para isso, vamos utilizar o conceito de independência linear, que basicamente nos diz se algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
a cdot u + b cdot (u + v) + c cdot (u + v + w) = 0
implica que , então o conjunto é independente.

Passo 3

Vamos escrever a combinação linear dos vetores de a cdot u + b cdot (u + v) + c cdot (u + v + w) = 0 :
a cdot u + b cdot u + b cdot v + c cdot u + c cdot v + c cdot w = 0
Vamos distribuir os coeficientes:
(a + b + c) cdot u + (b + c) cdot v + c cdot w = 0
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:

Passo 4

Para que essa combinação seja igual a zero, cada coeficiente deve ser igual a zero:
a + b + c = 0 b + c = 0 c = 0
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 5

Começamos pela última equação: b + 0 = 0 Rightarrow b = 0 .
Substituindo a + 0 + 0 = 0 Rightarrow a = 0 na segunda equação:
Agora, substituímos e na primeira equação:

Resposta

Como a única solução é , o conjunto é linearmente independente.

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