Seja um conjunto L.I. em . Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
(a) .
Passo 1
Beleza, temos que o conjunto é linearmente independente em . Nosso objetivo aqui é verificar se o conjunto também é linearmente independente ou não. Para isso, vamos utilizar o conceito de independência linear, que basicamente nos diz se algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores do conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
implica que , então o conjunto é independente.
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear dos vetores de :
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa combinação seja igual a zero, cada coeficiente deve ser igual a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 5
Começamos pela última equação: b + 0 = 0 Rightarrow b = 0 .
Substituindo a + 0 + 0 = 0 Rightarrow a = 0 na segunda equação:
Agora, substituímos e na primeira equação:
Resposta
Como a única solução é , o conjunto é linearmente independente.