Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (n+1)(x-2)^n5^n

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série de potências a partir de n=1 dada por sumn=1^infty (n+1)(x-2)^n5^n. O conteúdo é séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão para encontrar a região de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão ao termo geral an=(n+1)(x-2)^n5^n e calculamos o limite:
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinftyn+2n+1cdot|x-2|5 =|x-2|5

Passo 3

A condição de convergência pelo teste da razão é L<1, ou seja
|x-2|<5

Passo 4

Isso indica que o raio de convergência é R=5 e a parte interior do intervalo é -3.

Passo 5

Verificamos os extremos: em x=7 o termo geral fica n+1 (não tende a zero) e em x=-3 fica (n+1)(-1)^n (também não tende a zero), logo a série diverge nos dois extremos.

Resposta

A região de convergência é |x-2|<5, isto é o intervalo aberto (-3,7).

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