Em R^2, mantenhamos a definição de produto alpha v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição de soma de vetores u=(u1, u2) e v=(v1, v2). Em cada uma, dizer quais dos axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais não:
(b) u oplus v=(u1 v1, u2 v2).

Passo 1

O enunciado altera em R^2 a soma de vetores para
uoplus v = (u1v1,;u2v2)
mantendo o produto escalar usual alpha v=(alpha v1,alpha v2). Para verificar se isso ainda forma um espaço vetorial, vamos checar os axiomas de grupo abeliano em relação a oplus e os axiomas de compatibilidade com o produto escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro as propriedades de oplus como operação interna:
1. Fechamento: se u,vinR^2, então u1v1 e u2v2 são reais, logo uoplus vinR^2.
2. Comutatividade:
uoplus v=(u1v1,u2v2)=(v1u1,v2u2)=voplus u
3. Associatividade:
uoplus(voplus w) =(u1(v1w1),,u2(v2w2)) =(u1v1w1,,u2v2w2) =( (u1v1)w1,,(u2v2)w2 ) =(uoplus v)oplus w

Passo 3

Procuramos o elemento neutro e=(e1,e2) tal que
uoplus e=(u1e1,u2e2)=(u1,u2)
para todo u. Isso exige e1=1 e e2=1. Logo
e=(1,1)
é o elemento neutro de oplus.

Passo 4

Procuramos o inverso de u=(u1,u2), um vetor v=(v1,v2) tal que
uoplus v=(u1v1,u2v2)=(1,1)
Isso dá v1=1/u1 e v2=1/u2, que só existem se u1neq0 e u2neq0. Portanto, vetores que tenham componente zero não têm inverso aditivo, logo o axioma “todo vetor tem inverso” falha.

Passo 5

Vemos agora os axiomas envolvendo produto escalar:
1. Fechamento escalar: alpha u=(alpha u1,alpha u2)inR^2.
2. Multiplicação associativa de escalares:
alpha(beta u)=(alpha(beta u1),alpha(beta u2))=((alphabeta)u1,(alphabeta)u2)=(alphabeta)u
3. Elemento neutro escalar:
1cdot u=(1cdot u1,1cdot u2)=(u1,u2)=u

Passo 6

Testamos as propriedades distributivas:
1. alpha(uoplus v)=(alpha(u1v1),alpha(u2v2))=(alpha u1v1,alpha u2v2)
mas
alpha uoplus alpha v=((alpha u1)(alpha v1),(alpha u2)(alpha v2))=(alpha^2u1v1,alpha^2u2v2).
São diferentes em geral, então
alpha(uoplus v)neqalpha uoplusalpha v.
2. (alpha+beta)u=((alpha+beta)u1,(alpha+beta)u2)
enquanto
alpha uoplusbeta u=(alpha u1cdotbeta u1,;alpha u2cdotbeta u2)=(alphabeta u1^2,;alphabeta u2^2),
também diferentes em geral. Logo falha a distributividade em relação à soma de escalares.

Resposta

Axiomas que continuam válidos:
bul<=t Fechamento, comutatividade e associatividade da soma oplus.
bul<=t Existência de elemento neutro aditivo e=(1,1).
bul<=t Fechamento do produto escalar, associatividade de escalares e 1cdot u=u.
Axiomas que falham:
bul<=t Inverso aditivo existe só para vetores com componentes não nulas (logo, não vale para todos).
bul<=t Distributividade alpha(uoplus v)=alpha uoplusalpha v.
bul<=t Distributividade (alpha+beta)u=alpha uoplusbeta u.

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