, mantenhamos a definição de produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição de soma de vetores
e
. Em cada uma, dizer quais dos axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais não:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado altera em
a soma de vetores para
mantendo o produto escalar usual
. Para verificar se isso ainda forma um espaço vetorial, vamos checar os axiomas de grupo abeliano em relação a
e os axiomas de compatibilidade com o produto escalar.
Passo 2
Verificamos primeiro as propriedades de
como operação interna:
. Fechamento: se
, então
e
são reais, logo
.
. Comutatividade:
Passo 3
Procuramos o elemento neutro
tal que
para todo
. Isso exige
e
. Logo
é o elemento neutro de
.
Passo 4
Procuramos o inverso de
, um vetor
tal que
Isso dá
e
, que só existem se
e
. Portanto, vetores que tenham componente zero não têm inverso aditivo, logo o axioma “todo vetor tem inverso” falha.
Passo 5
Vemos agora os axiomas envolvendo produto escalar:
. Fechamento escalar:
.
. Multiplicação associativa de escalares:
Passo 6
Testamos as propriedades distributivas:
.
mas
.
São diferentes em geral, então
.
.
enquanto
,
também diferentes em geral. Logo falha a distributividade em relação à soma de escalares.
mas
São diferentes em geral, então
enquanto
também diferentes em geral. Logo falha a distributividade em relação à soma de escalares.
Resposta
Axiomas que continuam válidos:
Fechamento, comutatividade e associatividade da soma
.
Existência de elemento neutro aditivo
.
Fechamento do produto escalar, associatividade de escalares e
.
Axiomas que falham:
Inverso aditivo existe só para vetores com componentes não nulas (logo, não vale para todos).
Distributividade
.
Distributividade
.