Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique. .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
lA,,B,,Crsubset M(2,2),
onde
A=1&10&-1, B=1&-11&0, C=1&03&2,
é linearmente independente. Para isso, usaremos a definição: o conjunto é LI se a única combinação linear que dá a matriz nula é a trivial (todos os coeficientes nulos).
Passo 2
Escrevemos a combinação linear genérica igual à matriz zero:
a,A + b,B + c,C = 0&00&0
Substituindo as matrizes, obtemos
a1&10&-1 +b1&-11&0 +c1&03&2 = 0&00&0
Passo 3
Igualamos cada entrada ao zero e formamos o sistema em a,b,c:
Da equação (3) vem b = -3c. Substituindo b=a, dá a = -3c.
Igualando às duas expressões para a:
2c = -3c implies 5c = 0 implies c = 0
Então a=2c=0 e b=a=0.
Passo 5
Como a única solução do sistema é a=b=c=0, concluímos que não existe combinação linear não-trivial que produza a matriz nula. Portanto o conjunto é linearmente independente.
Resposta
O conjunto A,B,C é linearmente independente em M(2,2).