Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
[cc1 & 1 0 & -1],[cc1 & -1 1 & 0],[ll1 & 0 3 & 2] em M(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
lA,,B,,Crsubset M(2,2),
onde
A=1&10&-1, B=1&-11&0, C=1&03&2,
é linearmente independente. Para isso, usaremos a definição: o conjunto é LI se a única combinação linear que dá a matriz nula é a trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual à matriz zero:
a,A + b,B + c,C = 0&00&0
Substituindo as matrizes, obtemos
a1&10&-1 +b1&-11&0 +c1&03&2 = 0&00&0

Passo 3

Igualamos cada entrada ao zero e formamos o sistema em a,b,c:
(1);a + b + c = 0, &(posição (1,1)) (2);a - b = 0, &(posição (1,2)) (3);b + 3c = 0, &(posição (2,1)) (4);-a + 2c = 0 &(posição (2,2)) çãçãçãçã

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Da equação (2) vem b = a.
  • Da equação (4) vem a = 2c.
  • Da equação (3) vem b = -3c. Substituindo b=a, dá a = -3c.
  • Igualando às duas expressões para a:
2c = -3c implies 5c = 0 implies c = 0
Então a=2c=0 e b=a=0.

Passo 5

Como a única solução do sistema é a=b=c=0, concluímos que não existe combinação linear não-trivial que produza a matriz nula. Portanto o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto A,B,C é linearmente independente em M(2,2).

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