Seja pi o plano que passa pelos pontos A=(5,-4,1), B=(1,1,0) e C=(0,4,-2).
Obtenha um conjunto de equações paramétricas para o plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um conjunto de equações paramétricas para o plano pi que passa pelos pontos A=(5,-4,1), B=(1,1,0) e C=(0,4,-2). Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente com equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar vetores no plano e usar esses vetores para montar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano pi. Podemos fazer isso usando os pontos dados. Vamos calcular os vetores AB e AC:
  • Vetor AB: Subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B.
AB = B - A = (1-5, , 1-(-4), , 0-1) = (-4, , 5, , -1)
  • Vetor AC: Subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de C.
AC = C - A = (0-5, , 4-(-4), , -2-1) = (-5, , 8, , -3)
Esses vetores AB e AC estão ambos no plano pi e vão servir como nossos vetores diretores para as equações paramétricas.

Passo 3

Agora, vamos montar as equações paramétricas do plano [\pi) usando o ponto de partida e os vetores e . As equações paramétricas de um plano podem ser escritas assim:
Onde ), e e são os componentes dos vetores e , respectivamente. Substituindo os valores:
Aqui, são parâmetros que podem assumir qualquer valor real, permitindo que a gente percorra todo o plano .

Resposta

As equações paramétricas do plano [\pi) são:
Onde são parâmetros reais.

Exercícios relacionados