Seja pi o plano que passa pelos pontos A=(5,-4,1), B=(1,1,0) e C=(0,4,-2).
Obtenha três outros pontos do plano pi:
i. Usando as equações paramétricas.
ii. Usando a equação cartesiana.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar três pontos quaisquer do plano pi definido pelos pontos
A=(5,-4,1), B=(1,1,0), C=(0,4,-2)
Para isso vamos usar:
  1. Equação paramétrica do plano, que se baseia em um ponto fixo (por exemplo A) e nos vetores diretores AB e AC.
  2. Equação cartesiana do plano, que se obtém encontrando o vetor normal n=ABtimesAC e impondo ncdot (x,y,z - A)=0.

Passo 2

Calculemos os vetores diretores
AB=B-A=(1-5,;1+4,;0-1)=(-4,5,-1),
AC=C-A=(0-5,;4+4,;-2-1)=(-5,8,-3)
A equação paramétrica do plano é
r(s,t)=A + s,AB + t,AC =(5,-4,1) + s,(-4,5,-1) + t,(-5,8,-3)

Passo 3

Escolhemos três pares (s,t) diferentes de (0,0), de modo a gerar pontos distintos de A,B,C. Por exemplo:
  • (s,t)=(1,1)
P=(5,-4,1)+1(-4,5,-1)+1(-5,8,-3)=(-4,9,-3)
  • (s,t)=(2,0)
Q=(5,-4,1)+2(-4,5,-1)+(0,-) =(-3,6,-1)
  • (s,t)=(0,2)
R=(5,-4,1)+0cdot(-4,5,-1)+2(-5,8,-3)=(-5,12,-5)
Logo, três pontos obtidos por via paramétrica são
P=(-4,9,-3), Q=(-3,6,-1), R=(-5,12,-5)

Passo 4

Agora a forma cartesiana. Primeiro o vetor normal
n=ABtimesAC =(-4,5,-1)times(-5,8,-3)
Calculando o determinante, obtém-se
n=(-7,-7,-7)= -7(1,1,1)
Podemos usar n=(1,1,1). A equação é
(1,1,1)cdotl((x,y,z)-(5,-4,1)r)=0 Longrightarrow x+y+z-2=0

Passo 5

Na forma x+y+z=2 basta escolher três triplas que satisfaçam isso. Por exemplo:
(0,0,2), (0,2,0), (2,0,0)

Resposta

i. Por via paramétrica escolhemos
(-4,9,-3), (-3,6,-1), (-5,12,-5)
ii. Na equação cartesiana x+y+z=2 escolhemos
(0,0,2), (0,2,0), (2,0,0)

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